Tarjan算法及其应用

Posted 2020-10-15 HWIM

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Tarjan算法及其应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Tarjan算法及其应用

引入

tarjan算法可以在图上求解LCA，强连通分量，双联通分量（点双，边双），割点，割边，等各种问题。

这里简单整理一下tarjan算法的几个应用。

LCA

http://www.cnblogs.com/mjtcn/p/6852646.html

强联通分量

有向图的

强联通：在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图：如果在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做强连通分量［分量：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］

http://www.cnblogs.com/mjtcn/p/7599217.html

边双联通分量

无向图的

边双联通图：如果在一个无向图中，任意两点至少存在两条边不重复路径，则称该图为边双连通的。

边双联通分量：边双连通的极大子图称为边双连通分量。

原理和强联通分量的求法差不多。

 1 void tarjan(int u,int fa) {
 2     dfn[u] = low[u] = ++tn;
 3     st[++top] = u;
 4     vis[u] = true;
 5     for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
 6         int v = e[i].to;
 7         if (!dfn[v]) {
 8             tarjan(v);
 9             low[u] = min(low[u],low[v]);
10         }
11         else if (vis[v] && v!=fa) 
12             low[u] = min(low[u],dfn[v]);
13     }
14     if (dfn[u] == low[u]) {
15         ++cnt;
16         do {
17             vis[st[top]] = false;
18             bel[st[top]] = cnt;
19             top--;
20         } while (st[top+1] != u);
21     }
22 }

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简单点可以这样写，low数组可以有bel数组的作用

 1 void tarjan(int u,int fa) {
 2     dfn[u] = low[u] = ++tn;
 3     for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
 4         int v = e[i].to;
 5         if (!dfn[v]) {
 6             tarjan(v,u);
 7             low[u] = min(low[u],low[v]);
 8         }
 9         else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) 
10             low[u] = min(low[u],dfn[v]);
11     }
12 }

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点双联通分量

无向图的

留坑

割点

图的割点

在一个无向连通图中，如果删除某个顶点后，连通分量数目增加，称这样的点为割点（或者称割顶）。

朴素的求法O(n(n+m))，尝试删除每个点，dfs判断是否联通。

tarjan算法复杂度O(n+m)，线性！！！

割点的条件：

根节点：它的子节点中有多个联通块。
非根节点：点u及其后代中没有点连向u的祖先（可以连回u）

所以只要让low[v] >= dfn[u]即可。

 1 void tarjan(int u,int fa) {
 2     low[u] = dfn[u] = ++tn;
 3     int cnt_son = 0;
 4     for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
 5         int v = e[i].to;
 6         if (!dfn[v]) {
 7             cnt_son++;
 8             tarjan(v,u);
 9             low[u] = min(low[u],low[v]);
10             if (low[v] >= dfn[u]) // 第二种情况 
11                 iscut[u] = true;
12         }
13         else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) 
14             low[u] = min(low[u],dfn[v]);
15     }
16     if (fa<0 && cnt_son==1) iscut[u] = false; // 第一种情况 
17 }

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割边

无向图

在一个无向连通图中，如果删除某条边后，图不再连通，这条边就是割边(桥)。

如果u的一个子节点v，它的所有子节点及其自己都不能连回u的祖先，这里包括也不能连向u,那么u-v，就是一个割边

代码只要改一个地方，low[v] > dfn[u]

 1 void tarjan(int u,int fa) {
 2     dfn[u] = low[u] = ++tn;
 3     for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
 4         int v = e[i].to;
 5         if (!dfn[v]) {
 6             tarjan(v,u);
 7             low[u] = min(low[u],low[v]);
 8             if (low[v] > dfn[u]) {
 9                 printf("%d %d\\n",u,v);
10             }
11         }
12         else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) 
13             low[u] = min(low[u],dfn[v]);
14     }
15 }