[SCOI2005]互不侵犯

Posted 2020-10-15 Mrsrz

题目：BZOJ1087、洛谷P1896、codevs2451。

题目大意：在n×n的棋盘上放k个王，要使它们互相攻击不到，有几种放法？

一个王能攻击到与它相邻的八格内的棋子。

解题思路：状压DP。

我们可以用一个二进制来表示当前行的状态（1表示放了王，0表示没有）。

则设f[i][j][p]表示前i行放j个王状态为p时的方案数，则有：

$f[i][j][p]=\sum\limits_{s=0}^{2^n-1}f[i-1][j-len][s]$。其中len表示p状态中有多少个1。

当然必须保证状态p和s合法，且p与s不互相攻击（可以用位运算判断），否则为0。

最后的答案就是$\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}f[n][k][i]$。

时间复杂度$O(2^{2n}nk)$，由于无用状态占极大部分，所以基本可以忽略。

注意64位整数。

当然此题也可以打表。

C++ Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
int n,k;
ll f[10][83][1<<9|2];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	memset(f,0,sizeof f);
	f[0][0][0]=1;
	int zt=(1<<n)-1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=0;j<=k;++j)
	for(int p=0;p<=zt;++p)
	if(!(p&(p>>1))){
		int _1=0;
		for(int b=0;b<n;++b)_1+=(int)((bool)(p&(1<<b)));
		if(_1>j)continue;
		for(int s=0;s<=zt;++s)
		if(!((s&(s>>1))||(p&s)||(p&(s>>1))||(p&(s<<1))))
		f[i][j][p]+=f[i-1][j-_1][s];
	}
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=zt;++i)ans+=f[n][k][i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}