bzoj1087 [SCOI2005]互不侵犯King

Posted 2020-08-23 zbtrs

1087: [SCOI2005]互不侵犯King

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Description

　　在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上
左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

Input

　　只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

Output

　　方案数。

Sample Input

3 2

Sample Output

16

分析：这道题求方案数，那么可以想到用dp或者搜索，甚至还可以用数学方法，然而对于本题而言，搜索需要记录的信息和状态太多，会TLE，也没有什么很好的数学方法来解决这道题，所以只有采用dp.

       注意到n非常小，而且状态需要记录的信息非常多，所以考虑状态压缩dp.对于这类棋盘问题，当前行的状态和上一行的状态有着密切联系，而且答案和k有关，所以我们设计状态dp[i][j][k]为前i行已经放了j个国王并且第i行的状态为k（二进制）的方案数，那么dp[i][j][k] = Σdp[i-1][j - num[k]][p],其中num数组记录着一行为状态k的放的国王的数目，p为上一行符合要求的状态.

       现在的问题就是如何判断状态i是否符合要求,这不仅与i本身有关，还和它上一行的状态j有关，利用 <<,>>,&就可以判断了，它的原理是什么呢？我们把每个状态抽象成1个二进制数，它的第i位表示第i列放不放国王，利用&的性质，可以判断上下两行是否冲突，那么如何判断当前行是否冲突呢？将i左移1位再与i进行&操作即可.

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n, k,num[1000];
long long dp[10][1000][1000];
bool flag[1000];
long long ans;

void init()
{
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++)
        if (!(i & (i << 1)))
        {
            flag[i] = true;
            int t = i;
            while (t)
            {
                num[i] += (t & 1);
                t >>= 1;
            }
            dp[1][num[i]][i] = 1;
        }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    init();
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= k; j++)
            for (int now = 0; now < (1 << n); now++)
            {
                if (!flag[now])
                    continue;
                if (num[now] > j)
                    continue;
                for (int last = 0; last < (1 << n); last++)
                {
                    if (!flag[last])
                        continue;
                    if ((last & now) || ((now << 1) & last) || ((now >> 1) & last))
                        continue;
                    dp[i][j][now] += dp[i - 1][j - num[now]][last];
                }
            }
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++)
        ans += dp[n][k][i];

    printf("%lld", ans);
    return 0;
}