BZOJ2726[SDOI2012]任务安排 斜率优化+cdq分治

Posted 2020-10-15 CQzhangyu

【BZOJ2726】[SDOI2012]任务安排

Description

机器上有N个需要处理的任务，它们构成了一个序列。这些任务被标号为1到N，因此序列的排列为1,2,3...N。这N个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。从时刻0开始，这些任务被分批加工，第i个任务单独完成所需的时间是Ti。在每批任务开始前，机器需要启动时间S，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和。注意，同一批任务将在同一时刻完成。每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数Fi。请确定一个分组方案，使得总费用最小。

Input

第一行两个整数，N,S。

接下来N行每行两个整数，Ti,Fi。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

5 1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4

Sample Output

153

题解：用f[i]表示做完前i个任务的最小费用，但是做完当前任务的时间对后面的任务也会造成影响，所以我们提前应计算费用，不难列出方程：

设st表示T的前缀和，sf表示F的前缀和，所以有：

$f[i]=\min \{ f[j]+(st[i]-st[j]+S)*(sf[n]-sf[j])\}$

移个项显然就变成了斜率优化的形式。不过坑的地方是，T可能是负数，所以斜率不是单调的，所以用cdq分治即可。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=300010;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
int n;
ll S;
struct node
{
	int x,org,k;
	ll y,f;
}s[maxn],p[maxn];
int q[maxn];
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)	f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+(gc^‘0‘),gc=getchar();
	return ret*f;
}
bool cmpk(const node &a,const node &b)
{
	return a.k>b.k;
}
bool cmpo(const node &a,const node &b)
{
	return a.org<b.org;
}
inline ld slope(int a,int b)
{
	if(s[a].x==s[b].x)	return (s[b].y>=s[a].y)?(1e20):(-1e20);
	else	return ld(s[b].y-s[a].y)/(s[b].x-s[a].x);
}
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		s[l].y=(ll)s[l].x*(s[l].k-S)-s[l].f;
		return ;
	}
	register int mid=(l+r)>>1,i,h1=l,h2=mid+1;
	for(i=l;i<=r;i++)
	{
		if(s[i].org<=mid)	p[h1++]=s[i];
		else	p[h2++]=s[i];
	}
	for(i=l;i<=r;i++)	s[i]=p[i];
	solve(l,mid);
	register int h=1,t=0;
	for(i=l;i<=mid;i++)
	{
		while(h<t&&slope(q[t],i)>=slope(q[t-1],q[t]))	t--;
		q[++t]=i;
	}
	for(i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])>=s[i].k)	h++;
		s[i].f=min(s[i].f,s[q[h]].f+s[q[h]].x*(s[i].k-s[q[h]].k+S));
	}
	solve(mid+1,r);
	h1=l,h2=mid+1;
	for(i=l;i<=r;i++)
	{
		if(h1<=mid&&(h2>r||s[h1].x<s[h2].x))	p[i]=s[h1++];
		else	p[i]=s[h2++];
	}
	for(i=l;i<=r;i++)	s[i]=p[i];
}
int main()
{
	n=rd(),S=rd();
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)	s[i].k=s[i-1].k+rd(),s[i-1].x=rd(),s[i].org=i;
	for(i=n-1;i>=0;i--)	s[i].x+=s[i+1].x;
	for(i=1;i<=n;i++)	s[i].f=s[0].x*(s[i].k+S);
	sort(s+1,s+n+1,cmpk);
	solve(1,n);
	sort(s+1,s+n+1,cmpo);
	printf("%lld",s[n].f);
	return 0;
}