BZOJ 1010 HNOI2008 玩具装箱

Posted 2020-10-14 zhangenming

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4
Sample Output

1

题目

很明显这是一道dp题目，状态转移方程也很显然

f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^1) (1<=j<i)

很明显这样的dp复杂度为n^2

我们考虑用斜率去优化这个dp状态转移

这个式子看起来太复杂了，我们用一些数组去存一下中间变量的加减

我们用t[i]表示sum[i]+i-L    用tt[i]表示sum[j]+1+j

那么上述式子就可以表示为 f[i]=min(f[j]+(t[i]-tt[j])^2)

当j比k决策更优时则必然有 f[j]+(t[i]-tt[j])^2<f[k]+(t[i]-tt[k])^2

化简得 (f[j]-f[k]+tt[j]^2-tt[k]^2)/(tt[j]-tt[k])<2*t[i] 

这样就可以像之前一样维护一个单调队列了

如果具体实现上还不清楚 看代码

判断更优时可以写成一个函数solpe 注意精度要用double

代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long 
 3 using namespace std;
 4 inline int read(){
 5   int x=0;int f=1;char ch=getchar();
 6   while(!isdigit(ch)) {if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();} 
 7   while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
 8   return x*f;
 9 }
10 const int MAXN=1e6+10;
11 namespace zhangenming{
12   ll f[MAXN]={},n,sum[MAXN]={},t[MAXN],tt[MAXN],L,q[MAXN<<1],head=1,tail=0;
13   void init(){
14       n=read();L=read();
15       t[0]=0-L;
16       tt[0]=1;
17     for(int i=1;i<=n;i++){
18         int xx=read();
19         sum[i]=sum[i-1]+xx;
20         t[i]=sum[i]+i-L;
21         tt[i]=i+1+sum[i];
22     } 
23   } 
24   inline double solpe(int xx,int yy){
25         return 1.0*(tt[xx]*tt[xx]-tt[yy]*tt[yy]+f[xx]-f[yy])/(tt[xx]-tt[yy]);
26   }
27   void solve(){
28       f[0]=0;
29       q[++tail]=0;
30       for(int i=1;i<=n;i++){
31           //cout<<q[head]<<endl;
32           while(head<tail&&solpe(q[head+1],q[head])<2*t[i]) head++;
33           f[i]=f[q[head]]+(t[i]-tt[q[head]])*(t[i]-tt[q[head]]);
34           while(tail>head&&solpe(q[tail],i)<solpe(q[tail-1],q[tail])) tail--;
35           q[++tail]=i; 
36       } 
37       cout<<f[n]<<endl;
38   }
39 }
40 int main(){
41     using namespace zhangenming;
42     init();
43     solve();
44     return 0;
45 }

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