HDU2866 Special Prime

Posted 2020-10-13 WYBIACX

题目网址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2866

题意：在区间[2,L]内，有多少个素数p，满足方程有解。

 

分析：

原方程变为：　ｎ^(b-1) * (p+n) = m ^ b。

一开始，我们会想，这个方程在什么时候是有解的呢？？

肯定当左边式子能够凑成形如  X^b 这样的式子对不对？？

那么，也就是说，一定不存正整数k使得n = k*p。

即当且仅当gcd（n^(b-1),(p+n)） = 1时方程有解。

为什么？？

我们利用反证法可以进行证明：

假设 gcd（n^(b-1) , (p+n)） != 1

则一定存在一个正整数k，使得 n = k*p。

则该等式转化为： （k+1）* k ^ （b-1） * p^b = m ^ b;

要使等式两边相等，那么（k+1）*k^(b-1)必须配成幂次b的形式。

又因为gcd(k,k+1) = 1。

所以它两无公因子，无法配成x的b次方形式。

所以当gcd（n^(b-1) , (p+n) )  != 1时该方程无解。

 

通过上面的证明，我们知道该方程有解的条件。

设 n = x ^ b,  p+n = y^b,

则 m = x ^(b-1) * y   ,  且p = y^b - x^b;

因为p = y^b-x^b = (y-x)*(y^(n-1)+y^(n-2)*x+...+x^(n-1)),

对于上面的式子来自幂方差公式：　(a^n - b^n) =(a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)*b + ... + b^(n-1))

所以 (y-x)|p ，又因为p为质数， 所以能整除p的只有1与p本身，很明显的， y-x != p ,所以  y-x=1, --->  y = x+1;

所以p = (x+1)^b-x^b;

所以我们只要枚举x然后计算出p并且判断其是否为质数即可。

 

下面帖代码，有问题留言。

 

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    typedef long long LL;
    
    
    bool is_prime(int n){
        if(n <= 1)return false;
        for(int i = 2; i*i <= n; i++)
           if(n % i == 0)return false;
        return true;
    }
    
    int main(){
        int L;
        while(~scanf("%d",&L)){
            int ans = 0;
            int k = 1;
            while((LL)1*(k+1)*(k+1)*(k+1)-k*k*k <= L){
                if(is_prime((LL)1*(k+1)*(k+1)*(k+1) - k*k*k))ans++;
                k++;
            }
            if(ans == 0)printf("No Special Prime!\n");
            else printf("%d\n",ans);
        }
        return 0;
    }