洛谷 P1966 火柴排队

Posted 2020-10-13 哈

题面

先研究第一个问题：如何使得"距离"最小。

可以发现题意就是要求一种合适的两组数间的配对方式，使得∑(ai-bi)^2最小。

我口胡了一个结论...就是最好的配对方式，就是两组数分别排好序后，将位置相同的两个元素配对。

当然，可以发现这个结论是对的：https://www.luogu.org/wiki/show?name=%E9%A2%98%E8%A7%A3+P1966

（以下内容仅为记录）
题目的意思：min{∑（ai-bi）^2 (1<=i<=n)}
展开：min{∑（ai^2+bi^2-2*ai*bi）}=min{∑ai^2+∑bi^2-∑2*ai*bi}
仔细观察，可以发现∑ai^2和∑bi^2的值是不会变的，所以只能在∑2*ai*bi上做文章。
为使得和最小，那么∑2*ai*bi要最大，本题的模型就转变为max{∑ai*bi}。(2为常数，可省略)

对两个数组分别进行排序后，现有第一个数组中两个数a和b，第二个数组中两个数c和d
a<=b c<=d
根据以上猜测，则ac+bd一定是最大的。利用反证法。
若ac+bd不是最大的，那么一定有比它更大的，只有ad+bc
如果c=d，那么显然ac+bd=ad+bc,不会更大
如果c<d，那么
ac+bd<ad+bc
ac-ad<bc-bd
a*(c-d)<b*(c-d)//c-d<0
a>b，与a<=b矛盾

再研究下一个问题：如何得到最小的距离。

首先读入两个数组a1,b。将a1放入一个结构体数组a，结构体有成员a,b,num，a表示a1数组中对应位置的值，num表示最初的位置，b空着。

此时得到x1：就是开始时的b数组。

然后将a以结构体的成员a为关键字排序，将b排序（都是从小到大）。再将b中元素按此时的顺序赋给a的成员（意会一下）。这样就能得到最好的配对方式（两组数分别排好序后，将位置相同的两个元素配对）。

再将a以结构体成员num为关键字排序。此时得到x2：就是将a中结构体成员b按顺序抽出组成的新数组。

那么，问题就转化为在只能进行交换相邻两数的操作时，将x1用最少步数变成x2。

这里的方法是：将x1中每个数字变为其在x2中最后一次出现的位置。问题就变成将新的x1变成从小到大的最少步数。

这个问题的答案，其实就是新的x1的逆序对个数。因为：每一次交换相邻两数，不会改变其他数和这两个数的相对位置，因此只会导致逆序对个数加1、减1或不变。那么，可以设法使得每一次交换都恰好交换逆序的两数（很显然是可以做到的）。这儿有个解释：http://blog.csdn.net/sunmenggmail/article/details/8151793

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<map>
 4 #define md 99999997
 5 using namespace std;
 6 typedef long long LL;
 7 struct X
 8 {
 9     LL a,b,num;
10     friend bool operator<(const X& a,const X& b)
11     {
12         return a.a<b.a;
13     }
14 }a[100100];
15 map<LL,LL> ma;
16 LL now,n;
17 LL x1[100100],ans,t1[100100];
18 bool cmp(const X& a,const X& b)
19 {
20     return a.num<b.num;
21 }
22 void sort2(LL l,LL r)
23 {
24     if(l==r)    return;
25     LL m=(l+r)>>1,i,j,k;
26     sort2(l,m);
27     sort2(m+1,r);
28     for(i=k=l,j=m+1;i<=m&&j<=r;)
29     {
30         if(x1[i]>x1[j])
31         {
32             ans=(ans+m+1-i+md)%md;
33             t1[k++]=x1[j++];
34         }
35         else
36             t1[k++]=x1[i++];
37     }
38     for(;i<=m;)
39         t1[k++]=x1[i++];
40     for(;j<=r;)
41         t1[k++]=x1[j++];
42     for(i=l;i<=r;i++)
43         x1[i]=t1[i];
44 }
45 int main()
46 {
47     LL i;
48     //freopen("testdata.in","r",stdin);
49     scanf("%lld",&n);
50     for(i=1;i<=n;i++)
51         scanf("%lld",&a[i].a);
52     for(i=1;i<=n;i++)
53     {
54         scanf("%lld",&a[i].b);
55         x1[i]=t1[i]=a[i].b;
56         a[i].num=i;
57     }
58     sort(a+1,a+n+1);
59     sort(t1+1,t1+n+1);
60     for(i=1;i<=n;i++)
61         a[i].b=t1[i];
62     sort(a+1,a+n+1,cmp);
63     for(i=1;i<=n;i++)
64         ma[a[i].b]=++now;
65     for(i=1;i<=n;i++)
66         x1[i]=ma[x1[i]];
67     sort2(1,n);
68     printf("%lld",ans);
69     return 0;
70 }

错误代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define md 99999997
 5 using namespace std;
 6 typedef long long LL;
 7 struct X
 8 {
 9     LL a,b;
10     friend bool operator<(const X& a,const X& b)
11     {
12         return a.a<b.a;
13     }
14 }a[100100];
15 LL a1[100100],t1[100100];
16 LL n,ans;
17 void sort2(LL l,LL r)
18 {
19     if(l==r)    return;
20     LL m=(l+r)>>1,i,j,k;
21     sort2(l,m);
22     sort2(m+1,r);
23     for(i=k=l,j=m+1;i<=m&&j<=r;)
24     {
25         if(a1[i]>a1[j])
26         {
27             ans=(ans+m+1-i+md)%md;
28             t1[k++]=a1[j++];
29         }
30         else
31             t1[k++]=a1[i++];
32     }
33     for(;i<=m;)
34         t1[k++]=a1[i++];
35     for(;j<=r;)
36         t1[k++]=a1[j++];
37     for(i=l;i<=r;i++)
38         a1[i]=t1[i];
39 }
40 int main()
41 {
42     LL i;
43     //freopen("testdata.in","r",stdin);
44     scanf("%lld",&n);
45     for(i=1;i<=n;i++)
46         scanf("%lld",&a[i].a);
47     for(i=1;i<=n;i++)
48         scanf("%lld",&a[i].b);
49     sort(a+1,a+n+1);
50     for(i=1;i<=n;i++)
51         a1[i]=a[i].b;
52     sort2(1,n);
53     printf("%lld\n",ans);
54     return 0;
55 }

还是na1ve。