洛谷 P1966 火柴排队 题解

Posted 2020-10-13

此文为博主原创题解，转载时请通知博主，并把原文链接放在正文醒目位置。

题目链接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1966

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

输入文件为 match.in。

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式：

输出文件为 match.out。

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出样例#1：

1

输入样例#2：

4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出样例#2：

2

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint

 

分析：

要使对应序号的数字差最小，应该让a中最大对应b中最大，a中次大对应b中次大……

对a,b按照从小到大分别排序，进行一个类似离散化的操作，然后用rank[a[i].ord] = b[i].ord进行对应。

对rank数组求逆序对即可。这里用了树状数组，也可以归并排序。

2017.11.8更新：补上归并排序的代码。

 

AC代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 
 6 const int MOD = 99999997; 
 7 const int MAXN = 100005;
 8 
 9 inline void read(int &x)
10 {
11     char ch = getchar(),c = ch;x = 0;
12     while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) c = ch,ch = getchar();
13     while(ch <= ‘9‘ && ch >= ‘0‘) x = (x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch = getchar();
14     if(c == ‘-‘) x = -x;
15 }
16 
17 int n,rank[MAXN];
18 long long ans;
19 
20 struct NUM
21 {
22     int ord,v;
23 }a[MAXN],b[MAXN];
24 
25 int cmp(NUM a,NUM b)
26 {return a.v < b.v;}
27 
28 inline int lowbit(int x)
29 {return x&(-x);}
30 
31 inline void update(int x,int num)
32 {
33     while(x <= n)
34     {
35         c[x] += num;
36         x += lowbit(x);
37     }
38 }
39 
40 inline int sum(int x)
41 {
42     int sum = 0;
43     while(x > 0)
44     {
45         sum += c[x];
46         x -= lowbit(x);
47     }
48     return sum;
49 }
50 int main()
51 {
52     read(n);
53     for(register int i = 1;i <= n;++ i)
54         read(a[i].v),a[i].ord = i;
55     for(register int i = 1;i <= n;++ i)
56         read(b[i].v),b[i].ord = i;
57     std::sort(a+1,a+1+n,cmp);
58     std::sort(b+1,b+1+n,cmp);
59     for(register int i = 1;i <= n;++ i)
60         rank[a[i].ord] = b[i].ord;
61     for(register int i = 1;i <= n;++ i)
62     {
63         update(rank[i],1);
64         ans = (ans + i - sum(rank[i]))%MOD; 
65     }
66     printf("%lld\n",ans);
67     return 0;
68 }

树状数组

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 
 6 const int MAXN = 100002;
 7 const int MOD = 99999997;
 8 inline void read(int &x)
 9 {
10     char ch = getchar(),c = ch;x = 0;
11     while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘) c = ch,ch = getchar();
12     while(ch <= ‘9‘ && ch >= ‘0‘) x = (x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch = getchar();
13     if(c == ‘-‘) x = -x;
14 }
15 
16 int n,c[MAXN],rank[MAXN];
17 long long ans;
18 
19 struct NUM
20 {
21     int val,ord;
22 }a[MAXN],b[MAXN];
23 
24 int cmp(NUM a,NUM b)
25 {return a.val < b.val;}
26 
27 void merge(int l,int r)
28 {
29     if(l == r) return;
30     int mid = (l+r)>>1;
31     merge(l,mid);
32     merge(mid+1,r);
33     
34     int tmp = l,i = l,j = mid+1;
35     for(;i<=mid && j<=r;)
36     {
37         if(rank[i] <= rank[j]) c[tmp++] = rank[i++];
38         else if(rank[i] > rank[j]) c[tmp++] = rank[j++],ans += (mid-i+1);
39     }
40     ans %= MOD;
41     for(;i<=mid;) c[tmp++] = rank[i++];
42     for(;j<=r;) c[tmp++] = rank[j++];
43     
44     for(int x = l;x <= r;++ x)
45         rank[x] = c[x];
46 }
47 
48 int main()
49 {
50     read(n);
51     for(int i = 1;i <= n;++ i)
52         read(a[i].val),a[i].ord = i;
53     for(int i = 1;i <= n;++ i)
54         read(b[i].val),b[i].ord = i;
55     std::sort(a+1,a+1+n,cmp);
56     std::sort(b+1,b+1+n,cmp);
57     for(int i = 1;i <= n;++ i)
58         rank[a[i].ord] = b[i].ord;
59     merge(1,n);
60     printf("%lld\n",ans);
61     return 0;
62 }

归并排序