BZOJ-4008: [HNOI2015]亚瑟王 (概率期望DP)

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4008: [HNOI2015]亚瑟王

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Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂
亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非
洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已
经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一
下当欧洲人是怎样的体验。 
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 
玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后
将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对
敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因
素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 
一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次
考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 
否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 
2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张 
2.1将其以 pi的概率发动技能。 
2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。 
2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,
考虑下一张卡牌。 
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。 

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。 

接下来一共 T 组数据。 
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和
游戏的轮数。 
接下来 n行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第
i 行的两个数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动
造成的伤害(整数)。保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。 

Output

 对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的

伤害的期望值。对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过
10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。
建议输出10 位小数。 

Sample Input

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

Sample Output

3.2660250000

HINT

 

 一共有 13 种可能的情况: 


1.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.15,伤害为5。 

2.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.315,伤害为3。 

3.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.035,伤害为2。 

4.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.075,伤害为5。 

5.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.0675,伤害为4。 

6.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.0075,伤害为3。 

7.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.1575,伤害为3。 

8.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.04725,伤害为4。 

9.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

概率为 0.11025,伤害为1。 

10.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

概率为 0.0175,伤害为2。 

11.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

概率为 0.00525,伤害为3。 

12.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

概率为 0.011025,伤害为1。 

13.  第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 

概率为 0.001225,伤害为0。 

造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.266025。 

 

对于所有测试数据, 1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0 <= r <= 132, 0 < pi < 1, 0 <= di <= 1000。  

除非备注中有特殊说明,数据中 pi与di均为随机生成。 

请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。 

 

Source

 1 #include "bits/stdc++.h"
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 const int MAX=250;
 5 int T,n,r,d[MAX];
 6 double a[MAX],p[MAX][MAX],f[MAX][MAX],ans;//f[i][j]表示前i张牌,还剩j轮未打出牌的概率 
 7 inline int read(){
 8     int an=0,x=1;char c=getchar();
 9     while (c<0 || c>9) {if (c==-) x=-1;c=getchar();}
10     while (c>=0 && c<=9) {an=(an<<3)+(an<<1)+c-0;c=getchar();}
11     return an*x;
12 }
13 int main(){
14     freopen ("king.in","r",stdin);freopen ("king.out","w",stdout);
15     int i,j;
16     T=read();
17     while (T--){
18         n=read(),r=read();
19         memset(p,0,sizeof(p)),memset(f,0,sizeof(f));ans=0.0;
20         for (i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",a+i),d[i]=read();
21         for (i=1;i<=n;i++){
22             p[i][0]=1.0;
23             for (j=1;j<=r;j++) p[i][j]=p[i][j-1]*(1-a[i]);//第i张牌一直撑到第j轮还是没有打出的概率 
24         }
25         f[0][r]=1;
26         for (i=0;i<n;i++){
27             for (j=0;j<=r;j++){
28                 f[i+1][j]+=f[i][j]*p[i+1][j];//第i+1张牌依然没有打出……
29                 if (j>=1)
30                     f[i+1][j-1]+=f[i][j]*(1-p[i+1][j]),
31                     ans+=f[i][j]*(1-p[i+1][j])*1.0*d[i+1];
32             }
33         }
34         printf("%.10lf\n",ans);
35     }
36     return 0;
37 }

 

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