[BZOJ 4008][HNOI2015]亚瑟王（期望Dp）

Posted 2020-09-20 Zars19

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂

亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。作为一个非

洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已

经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一

下当欧洲人是怎样的体验。 

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 

玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后

将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。

每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对

敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因

素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。 

一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次

考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌： 

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则 

1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）； 

否则（是最后一张），结束这一轮游戏。 

2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张 

2.1将其以 pi的概率发动技能。 

2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。 

2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，

考虑下一张卡牌。 

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

Solution

感觉是个非常厉害的期望dp…完全没想到…

卡牌在哪一轮使用其实不重要，用f[i][j]来表示卡牌i到n还有j个发动机会的概率：

f[i][j]=f[i-1][j]*(1-p[i-1])^j+f[i-1][j+1]*[1-(1-p[i-1])^j+1]

于是每个f[i][j]对答案产生的贡献就是f[i][j]*[1-(1-p[i])^j]*d[i]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
int t,n,r,d[250];
double p[250],f[250][150],ans;
double pow(double a,int n)
{
    double res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)res*=a;
        a*=a;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&r);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0][r]=1,ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=r;j++)
            {
                f[i][j]=f[i-1][j]*pow(1-p[i-1],j)+f[i-1][j+1]*(1-pow(1-p[i-1],j+1));
                ans+=f[i][j]*(1-pow(1-p[i],j))*d[i]; 
            }
        }
        printf("%.10lf\n",ans);
    }
    return 0;
}