扩展欧几里得NOIP2012同余方程

Posted 2020-10-12 减维

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

 

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

 

输出格式：

 

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 10

输出样例#1： 复制

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

题解

顺便把欧几里得算法也写上了

证明：

其实欧几里得算法就是辗转相除法。。。

扩展欧几里得就是

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

 

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

 

求解 x，y的方法的理解

 

设 a>b。

 

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

 

2，a>b>0 时

 

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

 

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

 

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

 

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

 

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

 

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

 

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

 

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

 

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码

 

//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define maxn
using namespace std;

ll n,m;

ll gcd(ll x,ll y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll&y)
{
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll q=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll z=gcd(n,m);
    n/=z,m/=z;
    ll x,y;
    ll asd=exgcd(n,m,x,y);
    printf("%lld",(x+m)%m);
}