bzoj3598 [Scoi2014]方伯伯的商场之旅

Posted 2020-10-11 wfj_2048

Description

方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。说来也巧，位置在 i 的人面前的第 j 堆的石子的数量，刚好是 i 写成 K 进制后的第 j 位。

现在方伯伯要玩一个游戏，商场会给方伯伯两个整数 L,R。方伯伯要把位置在 [L, R] 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作，他可以选择一个人面前的两堆石子，将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆，代价是移动的石子数量 * 移动的距离。商场承诺，方伯伯只要完成任务，就给他一些椰子，代价越小，给他的椰子越多。所以方伯伯很着急，想请你告诉他最少的代价是多少。

例如：10 进制下的位置在 12312 的人，合并石子的最少代价为：

1 * 2 + 2 * 1 + 3 * 0 + 1 * 1 + 2 * 2 = 9

即把所有的石子都合并在第三堆 

Input

输入仅有 1 行，包含 3 个用空格分隔的整数 L，R，K，表示商场给方伯伯的 2 个整数，以及进制数

Output

 输出仅有 1 行，包含 1 个整数，表示最少的代价。

Sample Input

3 8 3

Sample Output

5

HINT

 1 < =  L < =  R < =  10^15, 2 < =  K < =  20

 

正解：数位$dp$。

数位$dp$基本套路，拆成$[1,l-1]$和$[1,r]$，还有从高位到低位统计贡献。

我们先把所有数都移到第一位的答案统计出来，那么我们只要考虑哪些数需要往高位移。

我们把一个数从第$i-1$位移到第$i$位时候，可以发现，前$i-1$位数字距离$+1$，后面的数字距离$-1$，实际上就是前缀加一次，后缀减一次。

我们考虑每次往后移一位的贡献差，如果这个贡献差大于$0$，那就不用移了，因为这个贡献差其实是一个单峰函数。

那么我们可以先把全放到第一位的贡献算出来，设$f[i][j]$表示前$i$位，$[i+1,n]$位贡献和为$j$的总贡献，可以用数位$dp$搞出来。

然后每次算出贡献差并累加到答案中，状态与上面是一样的，只是转移略有不同。

建议使用记忆化搜索实现，比较好写。

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 ll f[55][3000],l,r;
 9 int st[55],n,k;
10 
11 il ll dfs(RG int pos,RG ll s,RG int lim){
12   if (!pos) return s;
13   if (!lim && f[pos][s]!=-1) return f[pos][s];
14   RG int end=lim ? st[pos] : k-1; RG ll res=0;
15   for (RG int i=0;i<=end;++i)
16     res+=dfs(pos-1,s+i*(pos-1),lim && i==end);
17   if (!lim) f[pos][s]=res; return res;
18 }
19 
20 il ll dfs(RG int pos,RG ll s,RG int m,RG int lim){
21   if (s<0) return 0; if (!pos) return s;
22   if (!lim && f[pos][s]!=-1) return f[pos][s];
23   RG int end=lim ? st[pos] : k-1; RG ll res=0;
24   for (RG int i=0;i<=end;++i)
25     if (pos>=m) res+=dfs(pos-1,s+i,m,lim && i==end);
26     else res+=dfs(pos-1,s-i,m,lim && i==end);
27   if (!lim) f[pos][s]=res; return res;
28 }
29 
30 il ll solve(RG ll x){
31   RG ll ans; n=0; while (x) st[++n]=x%k,x/=k;
32   memset(f,-1,sizeof(f)),ans=dfs(n,0,1);
33   for (RG int i=2;i<=n;++i)
34     memset(f,-1,sizeof(f)),ans-=dfs(n,0,i,1);
35   return ans;
36 }
37 
38 int main(){
39 #ifndef ONLINE_JUDGE
40   freopen("shop.in","r",stdin);
41   freopen("shop.out","w",stdout);
42 #endif
43   cin>>l>>r>>k;
44   cout<<solve(r)-solve(l-1);
45   return 0;
46 }