样本标准差分母为何是n-1

Posted 2020-10-11

 大家好，今天给大家介绍标准差。标准差在统计领域是一个重要概念，有些地方晦涩难懂，特别是样本标准差的分母为何是n-1,而不是n或n-2,接下来我会一一介绍并用计算机模拟难点。

什么是标准差？下面看两组数[28,29,30,31,32],[10,20,30,40,50],它们的平均数都是30。这两组数是一致的吗？实际上，这两组数离散程度有很大区别。

 

用numpy模块计算，两组数的标准差相差10倍

 

方差是实际值与期望值之差平方的平均值。方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度!用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S2。 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。标准差就是方差的平方根。方差和标准差用于不同场合，方便计算。

（标准差英文解释）

 

方差公式

 

标准差公式

 

难点来了，总体标准差和样本标准差的公式是有区别的，如下图

 

样本标准差公式中，分母是n-1。

 

为何样本标准差的分母为何是n-1,而不是n或n-2？

我们用计算机建模，环境Anaconda（python2.7）

 

参数解释：

Sigma表示总体标准差

S表示样本标准差

ddofValue=0 表示样本标准差分母是n

ddofValue=1 表示样本标准差分母是n-1

ddofValue=2 表示样本标准差分母是n-2

算法思路：

1.模拟出一个总体（服从正态分布的1000个随机数）

2. 从总体中随机抽样（100个随机数）

3.分别算出总体和样本的标准差，然后相减得到distance差值

4.循环1000次试验，把1000个distance相加，得到total_distance

5.在步骤3中，分别对样本标准差的分母取n, n-1,n-2,  最终得到dict_modes

观察dict_modes，ddof1的绝对值最小3.8

ddof1=1 表示样本标准差分母是n-1

 

总结：s样本标准差的分母采用n-1更加接近真实的总体标准差。通过计算机模拟，我们证明了为什么样本标准差的分母n-1比较合适,而不是n或n-2。

源代码：

如果允许代码有任何问题，请反馈至邮箱[email protected]

# -*- coding: utf-8 -*-

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为什么样本标准差的分母是n-1

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import random

import numpy as np

#试验次数

trial=1000

#正态分布总体大小

size_total=1000

#正态分布样本大小

size_sample=100

#分母状态

#ddofValue=0 表示样本标准差分母是n

#ddofValue=1 表示样本标准差分母是n-1

#ddofValue=2 表示样本标准差分母是n-2

list_ddofValues=[0,1,2]

#返回样本标准差和总体标准差的距离总和

def Total_distance(ddofValue):

    #总体标准差 和样本标准差的差值

    total_distance=0

    for i in range(trial):

        normal_values=list(np.random.normal(size=size_total))

        #总体标准差

        sigma=np.std(normal_values,ddof=0)

        #随机抽样

        sample=random.sample(normal_values,size_sample)

        s=np.std(sample,ddof=ddofValue)

        distance=sigma-s

        total_distance+=distance

    return total_distance

#选择最佳模型

def Dict_modes():

    distance_ddof0=Total_distance(list_ddofValues[0])  

    distance_ddof1=Total_distance(list_ddofValues[1])

    distance_ddof2=Total_distance(list_ddofValues[2])

    dict_modes={}

    dict_modes["ddof0"]=distance_ddof0

    dict_modes["ddof1"]=distance_ddof1

    dict_modes["ddof2"]=distance_ddof2

    return dict_modes

dict_modes=Dict_modes()

print dict_modes

‘‘‘

for i in range(trial):

    normal_values=list(np.random.normal(size=n))

    #总体标准差

    sigma=np.std(normal_values,ddof=0)

    #plt.hist(normal_values)

    #随机抽样

    sample=random.sample(normal_values,100)

    #plt.hist(sample)

    s=np.std(sample,ddof=ddofValue)

    distance=sigma-s

    total_distance+=distance

    

print"when ddofValue is:",ddofValue

print"Distance:",total_distance

‘‘‘

End.