火山喷发计蒜客16862 NOIP模拟赛概率DP

Posted 2020-10-11 JayWang

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了火山喷发计蒜客16862 NOIP模拟赛概率DP相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题目描述

输入格式

输出格式

数据范围与约定

对于

对于

对于全部数据 $A_i≤50。$
样例输入1
1 2
1
样例输出1
0.000000
样例输入2
3 15
2 12 2
样例输出2
0.001684
0.996632
0.001684
题目来源

2017 NOIP 提高组模拟赛（三）Day1

什么？你想用DFS？复杂度可能是O（4*120!），也就大概是的复杂度。

所以，这道题很明显就是一道概率DP的题~

DP数组表示？

对于本题，不妨设 f[i][j][k][v] 表示1、2、3、4种生物的生命值为i、j、k、v的概率。

初始值？

很显然，对于读入的 a[1...n]，可以有 f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]]=1 （没有读入的生命值为0）

怎么转移？

对于a[1]+a[2]+a[3]+a[4]<=m的情况，直接输出n个0.000000即可。（难道这还用问为什么？）

若a[1]+a[2]+a[3]+a[4]>m，开始dp。

 1 dp[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]]=1;
 2     for (register int i=a[1];i>=0;--i)
 3         for (register int v=a[2];v>=0;--v)
 4             for (register int k=a[3];k>=0;--k)
 5                 for (register int j=a[4];j>=0;--j)
 6                 {
 7                     if(a[1]-i+a[2]-v+a[3]-k+a[4]-j>m) continue;
 8                     register int cnt=0;
 9                     if(i)++cnt; if(v)++cnt; if(k)++cnt; if(j)++cnt;
10                     if(!cnt) continue;
11                     double gl=1.000000/(double)cnt;
12                     if(i) dp[i-1][v][k][j]+=gl*dp[i][v][k][j];
13                     if(v) dp[i][v-1][k][j]+=gl*dp[i][v][k][j];
14                     if(k) dp[i][v][k-1][j]+=gl*dp[i][v][k][j];
15                     if(j) dp[i][v][k][j-1]+=gl*dp[i][v][k][j];
16                 }

方程的含义是显而易见的。由当前状态推向下一状态，并乘以对应的概率。

如何求得答案？

举个栗子，对于一个对第一个生物生存的概率询问，我们遍历求和，sum=Σf[0][j][k][v]，其中j<=a[2],k<=a[3],v<=a[4],且 a[1]+a[2]-j+a[3]-k+a[4]-v==m

这样，我们求到的sum是第一个生物死亡的概率，我们回答 1.0-sum 即可。

附上AC代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 template<class _T>inline void read(_T &_a)
 5 {
 6     char _ch=getchar();_a=0;
 7     while(_ch<\'0\'||_ch>\'9\')_ch=getchar();
 8     while(_ch>=\'0\'&&_ch<=\'9\'){_a=(_a<<3)+(_a<<1)+_ch-\'0\';_ch=getchar();}
 9 }
10 
11 const int maxn=5;
12 int n,m,a[maxn];
13 double dp[51][51][51][51];
14 
15 int main()
16 {
17     freopen("volcano.in","r",stdin);
18     freopen("volcano.out","w",stdout);
19     read(n); read(m);
20     for (register int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
21     if(m>=a[1]+a[2]+a[3]+a[4])
22     {
23         for (register int i=1;i<=n;++i) printf("0.000000\\n");
24         return 0;
25     }
26     dp[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]]=1;
27     for (register int i=a[1];i>=0;--i)
28         for (register int v=a[2];v>=0;--v)
29             for (register int k=a[3];k>=0;--k)
30                 for (register int j=a[4];j>=0;--j)
31                 {
32                     if(a[1]-i+a[2]-v+a[3]-k+a[4]-j>m) continue;
33                     register int cnt=0;
34                     if(i)++cnt; if(v)++cnt; if(k)++cnt; if(j)++cnt;
35                     if(!cnt) continue;
36                     double gl=1.000000/(double)cnt;
37                     if(i) dp[i-1][v][k][j]+=gl*dp[i][v][k][j];
38                     if(v) dp[i][v-1][k][j]+=gl*dp[i][v][k][j];
39                     if(k) dp[i][v][k-1][j]+=gl*dp[i][v][k][j];
40                     if(j) dp[i][v][k][j-1]+=gl*dp[i][v][k][j];
41                 }
42     for (register int i=1;i<=n;i++)
43     {
44         register double ans=0;
45           if (i==1)
46               for (register int j=0;j<=a[2];++j)
47                 for (register int k=0;k<=a[3];++k)
48                     for (register int p=0;p<=a[4];++p)
49                         if (a[1]+a[2]-j+a[3]-k+a[4]-p==m)
50                             ans+=dp[0][j][k][p];
51         if (i==2)
52             for (register int j=0;j<=a[1];++j)
53                 for (register int k=0;k<=a[3];++k)
54                     for (register int p=0;p<=a[4];++p)
55                         if (a[1]-j+a[2]+a[3]-k+a[4]-p==m)
56                             ans+=dp[j][0][k][p];    
57         if (i==3)
58             for (register int j=0;j<=a[1];++j)
59                 for (register int k=0;k<=a[2];++k)
60                     for (register int p=0;p<=a[4];++p)
61                         if (a[1]-j+a[2]-k+a[3]+a[4]-p==m)
62                             ans+=dp[j][k][0][p];    
63         if (i==4)
64             for (register int j=0;j<=a[1];++j)
65                 for (register int k=0;k<=a[2];++k)
66                     for (register int p=0;p<=a[3];++p)
67                         if (a[1]-j+a[2]-k+a[3]-p+a[4]==m)
68                             ans+=dp[j][k][p][0];    
69         printf("%lf\\n",1.000000-ans);
70     }
71     return 0;
72 }