火山喷发[动态规划]

Posted 2020-11-11 AK DREAM

【题目描述】
火山喷发对所有附近的生物具有毁灭性的影响。在本题中，我们希望用数值来模拟这一过程。
在环境里有 \(n\) 个生物分别具有 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\)点生命值，一次火山喷发总计 \(M\) 轮，每轮造成 \(1\) 点伤害，等概率地分给所有存活的生物，即如果目前有 \(K\) 个活着的生物，每个生物受到这点伤害的概率是 \(\frac{1}{K}\)。如果一个生物的生命值减为 \(0\)，它会立即死去，此后都不会再占用受到伤害的概率。如果没有生物存活，那么将没有生物会受到伤害。
现在你的任务是，给定 \(n,M\) 和全部生物的生命值，问每个生物火山喷发后依然存活的概率。

【输入格式】
第一行两个正整数 \(n\) 和 \(M\)。
第二行 \(n\) 个正整数 \(A_1,\cdots,A_n\)。

【输出格式】
\(n\) 行，第 \(i\) 行一个数表示第 \(i\) 个生物存活下来的概率，保留小数点后六位。

【数据范围】
对于全部数据 \(n \le 4\), \(M \le 120\),\(A_i\le50\)。

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挺水的
前提是你要看出这个可以直接DP
而不像别的某些概率期望题一样推公式推到头秃
突破口在于\(n \le 4\)，可以直接建数组\(f[i][j][k][l]\)表示生物1有\(i\)生命，生物2有\(j\)生命，\(3\)->\(k\), \(4\)->\(l\)的概率
然后就可以枚举轮数，枚举\(i, j, k\)来进行DP了，注意\(l\)不需要枚举，因为每个轮数及\(i, j, k\)正好对应一个\(l\)。
转移方程很简单吧。。。文字不太好表示，看代码吧
时间复杂度\(O(120*50^{3})\);

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, m, sum, a[10];
double dp[51][51][51][51], ans[10];

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        sum += a[i];
    }
    m = min(m, sum);
    dp[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]] = 1;
    for (int tme = 0; tme <= m; tme++) {
        for (int i = 0; i <= a[1]; i++) {
            for (int j = 0; j <= a[2]; j++) {
                for (int k = 0; k <= a[3]; k++) {
                    int l = sum - tme - i - j - k;
                    if (sum - i - j - k - l != tme) continue; 
                    if (l > a[4] || l < 0) continue;
                    if (i == 0 && j == 0 && k == 0 && l == 0) continue;
                    int num = 0;
                    if (i) num++; if (j) num++; if (k) num++; if (l) num++;
                    if (i) dp[i-1][j][k][l] += dp[i][j][k][l] / num;
                    if (j) dp[i][j-1][k][l] += dp[i][j][k][l] / num;
                    if (k) dp[i][j][k-1][l] += dp[i][j][k][l] / num;
                    if (l) dp[i][j][k][l-1] += dp[i][j][k][l] / num;
                }
            }
        }
    }
//统计答案写得恶臭无比 不要在意
    for (int i = 0; i <= a[2]; i++) {
        for (int j = 0; j <= a[3]; j++) {
            for (int k = 0; k <= a[4]; k++) {
                if (sum - i - j - k == m) {
                    ans[1] += dp[0][i][j][k];
                }
            }
        }
    } 
    for (int i = 0; i <= a[1]; i++) {
        for (int j = 0; j <= a[3]; j++) {
            for (int k = 0; k <= a[4]; k++) {
                if (sum - i - j - k == m) ans[2] += dp[i][0][j][k];
            }
        }
    } 
    for (int i = 0; i <= a[1]; i++) {
        for (int j = 0; j <= a[2]; j++) {
            for (int k = 0; k <= a[4]; k++) {
                if (sum - i - j - k == m) ans[3] += dp[i][j][0][k];
            }
        }
    } 
    for (int i = 0; i <= a[1]; i++) {
        for (int j = 0; j <= a[2]; j++) {
            for (int k = 0; k <= a[3]; k++) {
                if (sum - i - j - k == m) ans[4] += dp[i][j][k][0];
            }
        }
    } 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%.6lf\n", 1 - ans[i]);
    }
    return 0;
}