UVa OJ 679 - Dropping Balls

Posted 2020-10-11 SiuGinHung

本题是一个二叉树问题——Perfect Binary Tree。

一个完美二叉树（PBT）的深度为D，从根结点开始，按层次遍历顺序编号为1,2,...,2^D-1。

有若干个球，依次由根结点落下。当一个球落在非叶结点上时，将向左子树或右子树落下。这个方向由每一个结点的flag控制（其中，flag是一个0-1型变量）：

①当flag==0时，小球向左子树运动；

②当flag==1时，小球向右子树运动。flag初始化为0。

一个小球路过该结点后，该结点的flag值变化。

求解第I个球最终到达的叶结点。

可以考虑模拟。直接模拟的时间复杂度为O(ID)，空间复杂度为O(2^D)，多组数据下TLE。

值得注意的是，在题中的编号方式中，若一个结点的编号为k，则其左子结点的编号为2k，右子结点的编号为2k+1。

于是，可以考虑某一个结点k的情况：若某一个小球是第i个路过结点k的小球，则：

①当i为奇数时，小球向左，下一个结点为2k：此时，该小球是向左的第(i+1)/2个小球；

②当i为偶数时，小球向右，下一个结点为2k+1：此时，该小球是向右的第i/2个小球。

于是，可以直接模拟第I个球的路线。时间复杂度为O(D)，空间复杂度为O(1)。

参考程序如下：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n, d, i;
    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        scanf("%d%d", &d, &i);
        int k = 1;
        d--;
        while (d--) {
            if (i & 1) {
                k = k << 1;
                i = i + 1 >> 1;
            } else {
                k = k << 1 | 1;
                i = i >> 1;
            }
        }
        printf("%d\n", k);
    }
    return 0;
}