编译 树形DP

Posted 2020-10-11 古时候的瘾君子

[Description]
山山是 2017 级信奥班的成员,因为喜欢玩 android 系统而出名。
山山写出了一个伟大的 C++工程,一共包含 N 个源文件。在山山的脑海中,N 个源文
件构成一个树形结构。每一个源文件是树上的一个节点,其中 1 号节点是树根。
现在,山山开始编译这个工程。每次他会从树上选择一条链(包含两个端点)进行编译。
由于编译器的特性,要求这条链的一个端点必须是另一个端点的祖先。一条链可以退化成一
个点。每个源文件都需要被编译恰好一次。
每一个源文件都有一个两位十六进制数的标志值(范围从 00 到 ff)。对于每一条选择的
链,把该上面所有源文件的标志值异或起来,得到这条链的特征值。把所有选择的链的特征
值相加,得到这次编译的代价。现在山山想知道至少选择几条链才能编译所有文件。在选择
的链数目最小的时候,编译的代价最小是多少。
[Input]
第一行一个整数 N。
以下一行,N 个两位十六进制数,表示第 1 号源文件到第 N 号源文件的特征值。
(十六进制
数中的字母采取小写,不足两位的在前面补零。亦即 C/C++中使用”%02x”输出的格式。
)
以下(N - 1)行,每行两个整数,给出树上的一条边所连接的两个顶点。
[Output]
一行两个整数。依次为,选择的链的最小数目、编译的最小代价。两个数均以十进制形式输
出。
[Sample]

 

说明:最优方案为(1, 3), (2)。

 

说明:最优方案为(1, 3), (2, 4), (5)或(1, 3), (2, 5), (4)。
[Tips]
0 ≤ N ≤ 20,000。

 

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这其实是到比较难的树形DP了。

首先我们可以证明链的数量最少是叶子节点数目（每条链必须有一个是个i另一个的爸爸）。

得到这个结论之后就好办很多，我们只需要求出最后代价最小就可以了。

现在我们来讨论怎么让代价最小。

解法写在了代码里：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define ll long long
#define il inline
#define db double

#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

using namespace std;

il int gi()
{
	int x=0,y=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<\'0\'||ch>\'9\')
		{
			if(ch==\'-\')
				y=-1;
			ch=getchar();
		}
	while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\')
		{
			x=x*10+ch-\'0\';
			ch=getchar();
		}
	return x*y;
}

int head[100045],cnt;

struct edge
{
	int next,to;
}e[100045];

il void add(int from,int to)
{
	e[++cnt].next=head[from];
	e[cnt].to=to;
	head[from]=cnt;
}

int num[100045];

int du[100045];

int best[100045];//记录以i为根形成的子树异或和最优值

int f[100045][1<<8];//记录以i为根形成的一条链，该链异或和为j时，子树其他点的异或和最优值

void dfs(int x,int fa)
{
	int r=head[x];
	int ans=0;
	bool flag=0;
	while(r!=-1)
		{
			int now=e[r].to;
			if(now!=fa)
				{
					flag=1;
					dfs(now,x);
					ans+=best[now];//统计所有儿子最优异或和
				}
			r=e[r].next;
		}

	if(!flag)
		{
			best[x]=num[x];
			f[x][num[x]]=0;
			return;
		}

	r=head[x];
	while(r!=-1)
		{
			int now=e[r].to;
			if(now!=fa)
				{
					for(int j=0;j<1<<8;j++)//模拟把它儿子连到它上面
						{
							int r1=j^num[x];
							int r2=ans-best[now]+f[now][j];//连上之后异或和，总的减去该儿子的值，加上该儿子链的值
							f[x][r1]=min(f[x][r1],r2);
						}
				}
			r=e[r].next;
		}
	for(int i=0;i<1<<8;i++)
		best[x]=min(best[x],f[x][i]+i);
}

int main()
{
	freopen("compiler.in","r",stdin);
	freopen("compiler.out","w",stdout);

	memset(best,127/3,sizeof(best));
	memset(f,127/3,sizeof(f));
	memset(head,-1,sizeof(head));

	int n=gi();
	
	char ch[5];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%s",ch);
			if(ch[0]>=\'0\'&&ch[0]<=\'9\')
				num[i]+=16*(ch[0]-\'0\');
			if(ch[0]>=\'a\'&&ch[0]<=\'f\')
				num[i]+=16*(ch[0]-87);
			if(ch[1]>=\'0\'&&ch[1]<=\'9\')
				num[i]+=ch[1]-\'0\';
			if(ch[1]>=\'a\'&&ch[1]<=\'f\')
				num[i]+=ch[1]-87;
		}

	int x,y;
	for(int i=1;i<n;i++)
		{
			x=gi(),y=gi();
			du[x]++;
			du[y]++;
			add(x,y);
			add(y,x);
		}

	int tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(du[i]==1&&i!=1)
			tot++;
	
	printf("%d ",tot);

	dfs(1,0);

	printf("%d\\n",best[1]);

	return 0;
}