洛谷 P2258 子矩阵

Posted 2020-10-10 一蓑烟雨任生平

P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

 

输出格式：

 

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1：

6

输入样例#2：

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2：

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

思路：枚举+DP.

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,r,c;
int num[20][20]={0};
int ch[20]={0},gs=1;//dfs数组
int lc[20]={0},hc[20][20]={0};
int f[20][20];//DP数组
void mems(){//预处理
    for(int i=1;i<=m;i++){//预处理lc[i]
        lc[i]=0;
        for(int j=1;j<r;j++)
            lc[i]+=abs(num[ch[j]][i]-num[ch[j+1]][i]);//计和
    }
    for(int i=2;i<=m;i++){//预处理hc[i][j]（前提条件：i>j）
        for(int j=1;j<i;j++){
            hc[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=r;k++)
                hc[i][j]+=abs(num[ch[k]][i]-num[ch[k]][j]);//计和
        }
    }
}
int minn=2e9;//全部状态的最小值，即输出
int cmin;
void dp(){//DP
    for(int i=1;i<=m;i++){//枚举i
        cmin=min(i,c);//j的边界值（一定要注意不能大于c）
        for(int j=1;j<=cmin;j++){
            if(j==1)//第一种边界
                f[i][j]=lc[i];
            else
                if(i==j)//第二种边界
                    f[i][j]=f[i-1][j-1]+lc[i]+hc[i][j-1];
            else{//正常情况
                f[i][j]=2e8;//初始化，取inf
                for(int k=j-1;k<i;k++)//注意边界
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+lc[i]+hc[i][k]);//取最小值
            }
            if(j==c)    minn=min(minn,f[i][c]);//存在此状态，则更新最小值
        }
    }
}
void dfs(int node){//枚举
    if(node>n){//已经取到了一种状态
        mems();
        dp();
        return;
    }
    if(r-gs+1==n-node+1){//这里就是解释中所述的优化。如果node和node以后的元素必须全部取完，才能满足刚好有r个的条件，则必须取node，否则便会取到少于r个元素的情况。样保证了node>n时所有情况都刚好有r个，这便是个优化剪枝
        ch[gs++]=node;
        dfs(node+1);
        ch[gs--]=0;//记得gs要减回来
        return;
    }
    dfs(node+1);//不取node
    if(gs<=r){//如果已经取满了r个元素，便不能再取了
        ch[gs++]=node;
        dfs(node+1);
        ch[gs--]=0;
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&num[i][j]);
    dfs(1);
    printf("%d",minn);
    return 0;
}