NOIP 普及组 T4 子矩阵(--洛谷P2258)

Posted 2020-09-17 心之所向 素履以往

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

 

输出格式：

 

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1：

6

输入样例#2：

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2：

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

 

 1 我们可以看出 数据的n，m 只有16 
 2 
 3 那么我们想到枚举选了哪r行和哪r列在枚举子矩阵
 4 
 5 不过看一下复杂度 是O(C(n,r)*C(m,c)*r*c) 
 6 
 7 在两个组合数相乘时就爆了 
 8 
 9 那么我们可以从另一个角度来想 
10 
11 只枚举选了那几行或哪几列 大概就可以A掉了
12 
13 虽然这个不是纯枚举 却是用枚举为DP做准备的
14 
15 我们选出r行后再处理第 i 列和第 j 列之间的差值
16 和一列的列内差值
17 
18 然后就DP好了 dp[i][k] 代表选了前i列选了k列
19 第i列强制选取 状态转移为 
20 dp[i][k]=min(dp[i][k],dp[j][k-1]+cost[j][i]+val[i]);
21 cost[i][j]  代表若第i列与第j列相邻的花费
22 val[i]代表 第i列列内的花费
23 
24 最后取dp[i][c]

 

 1 #include<cmath>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #define MAXN 20 
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int a[MAXN][MAXN],n,m,r,c,ans;
10 
11 int R[MAXN],cost[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN],val[MAXN];
12 
13 inline void read(int &x) {
14     int f=1;x=0;char c=getchar();
15     while(c>‘9‘||c<‘0‘) {if(c==‘-‘) f=-1;c=getchar();}
16     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
17     x=x*f;
18 }
19 
20 inline int DP() {
21     int ret=1e9;
22     for(int i=1;i<=m;i++) {  //在第i列之间的数的差值之和 
23         val[i]=0;
24         for(int j=1;j<r;j++)
25           val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]);
26     }
27     
28     for(int i=1;i<=m;i++)   //处理在第i列与第j列之间 数的差值之和 
29       for(int j=i+1;j<=m;j++) {
30             cost[i][j]=0;
31             for(int k=1;k<=r;k++) 
32               cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);
33       }
34     
35     for(int i=1;i<=m;i++) //前i列之中 第i列强制选择 
36       for(int j=1;j<=i&&j<=c;j++) { //已经选了j列 
37             dp[i][j]=1e9;
38             for(int k=j-1;k<i;k++) //    从j-1列开始 在第j-1列到第i列之中选第j列 再加上第i列的花费 
39               dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k][i]+val[i]);    //在前k列中选取了j-1列 再选取第j列 
40       }
41     
42     for(int i=c;i<=m;i++) //在前i列中选了c列 
43       ret=min(ret,dp[i][c]);
44     return ret;
45 }
46 
47 inline void slect(int now,int cnt) {// 任意选取r行
48     if(now>n) {
49         if(cnt==r) ans=min(ans,DP());
50         return;
51     }
52     slect(now+1,cnt);
53     R[cnt+1]=now;
54     slect(now+1,cnt+1);
55     return;
56 }
57 
58 int main() {
59     read(n);read(m);read(r);read(c);
60     for(int i=1;i<=n;i++)
61       for(int j=1;j<=m;j++)
62         read(a[i][j]);
63     ans=1e9;
64     slect(1,0);
65     printf("%d\n",ans);
66     return 0;
67 }

代码