数学笔记12——常微分方程和分离变量

Posted 2020-10-10 我是8位的

本文主要介绍微分方程中的常微分方程以及如何利用分离变量法求解常微分方程

 常微分方程

　　含有未知函数的导数，如

　　的方程是微分方程。 一般的，凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。本文主要介绍常微分方程。

　　概念往往令人迷惑，还是看看实际的例子：

　　目标是求解x和y的关系。将等式转换：

　　这就是最终答案。

　　实际上，常微分的求解过程就是利用不定积分的知识：

分离变量

　　分离变量是求解常微分方程的一种方法，适用于dy/dx = f(x)g(y)的形式。先看下面的示例：

　　在物理学中它有一个专有名称，叫做“淹没算符”。此处没必要去纠结物理学概念，仅需要在数学上求解这个方程。但这个表达式和以往所见的微分表达式不一样，首先将方程展开，将其转换为我们熟悉的形式：

　　想要求解方程，需要继续转换：

　　这就是求得的答案。

　　但上述答案只求解了y>0的情况，y≤0时尚未考虑。可以通过求导来验证答案是否是通解：

　　令a为任意常数，将解转换为y=ae^{-x^2}/2，当a≠0时，实际上a=±A

　　答案是通解，最终答案是y=ae^{-x^2}/2，a是任意常数。

　　实际上该答案就是正态分布函数，也就是著名的高斯函数，其原型：

　　其中a,b,c∈R

　　高斯函数的图形在形状上像一个倒悬着的钟。a表示得到曲线的高度，b是指曲线中心线在x轴的偏移，c半峰宽度（函数峰值一半处相距的宽度）。

　　当b=0,c=0,a=5时，图像如下：

y=ae^{-x^2}/2

示例

示例1

　　曲线切线与经过原点的直线相交，曲线在交点的切线是直线斜率的两倍，求曲线表达式。

　　首先将上述文字转换为方程，设交点是(x,y)，曲线是y=f(x)，则曲线切线的斜率为y’，直线斜率为y/x，于是得到下面关系式：

　　通过验证寻找通解，设a=±A，则a为非零的任意常数，y=ax²，验证该解：

　　答案符合最初等式。最终结果是y=ax²，a∈R，x≠0

　　当a=1时，曲线y= x²，y’=2x；则在(2,4)点的切线斜率是4，切线是y=4x+b；将(2,4)代入切线，4=4×2+b，b=-4，在(2,4)点的切线为y=4x-4。下图是满足条件的曲线：

　　y=ax²实际上是一族曲线：

y=ax²

示例2

　　微分方程xdy/dx = (x²+x)(y²+1)，求y=f(x)

 

　　此处需要复习一下三角函数的求导公式：

　　由上面的公式15，

　　验证，已知三角函数公式tan²x+1=sec²x

示例3

　　d²y/dx²=6x，求y=f(x)，y=f(x)在(1,1)点有水平切线。

　　题目中涉及到二阶导数和一个限制条件。

　　通过限制条件得知：

　　将(1,1)代入上式，1 = 1 – 3 + C₂，C₂ = 3

　　最终，y = x³ – 3x + 3

 总结

1. 使用不定积分求解常微分方程
2. 分离变量是求解常微分方程的一种方法，适用于dy/dx = f(x)g(y)的形式

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