常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现

Posted 2023-03-19

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本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。

考虑常微分方程的解析解法，我们一般可以将其归纳为如下几类：

这类微分方程可以变形成如下形式：

两边同时积分即可解出函数，难点主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

形如

的方程叫做一阶线性微分方程，若 为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法： (直接套公式)

伯努利方程
形如

的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：


令 , 方程两边同时乘以 ，得到

即 .
这就将伯努利方程归结为可以套公式的一阶线性微分方程。

形如

的方程称为二阶常系数微分方程，若 ，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

首先假设 .用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：

解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是 , 此时方程的通解是

情况二：方程有一个二重解
假设该解等于 ，此时方程的通解是

情况三：方程有一对共轭复解
假设这对解是 , 此时方程的通解是

对于 和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

形如

的方程叫做高阶常系数微分方程，若 ，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

问题一:两点边值问题的解析解

由于此方程是非齐次的,故 求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

首先假设 . 用特征方程法，写出对应的特征方程

求解得到两个不同的实数特征根: .

此时方程的齐次通解是

由于 . 所以非齐次特解形式为

将上式代入控制方程有

求解得: , 即非齐次特解为 .

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

于是,原方程的全解为

因为该问题给出的是第三类边界条件,故需要求解的导函数

且有

将以上各式代入边界条件

解此方程组可得: .

综上所述,原两点边值问题的解为

对一般的二阶微分方程边值问题

假定其解存在唯一,
为求解的近似值, 类似于前面的做法,

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

问题二:有限差分方法算出其数值解及误差
对于 原问题 ,取步长 h=0.2 ,用 有限差分 求其 近似解 ,并将结果与 精确解y(x)=-x-1 进行比较.

因为

先以将区间划分为5份为例，求出数值解

结果:

是不是解出数值解就完事了呢？当然不是。我们可以将问题的差分格式解与问题的真解进行比较，以得到解的可靠性。通过数学计算我们得到问题的真解为 ，现用范数来衡量误差的大小：

结果:

接下来绘图比较 时数值解与真解的差距：

结果:

将区间划分为 份, 即 时.

结果:

绘图比较 时数值解与真解的差距：

最后，我们还可以从数学的角度分析所采用的差分格式的一些性质。因为差分格式的误差为 ， 所以理论上来说网格每加密一倍，与真解的误差大致会缩小到原来的 . 下讨论网格加密时的变化：

结果：