matlab微分方程的解？
Posted
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了matlab微分方程的解？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
22、求解微分方程在初值y(0)=2，z(0)=7 下的特解。分别求解方程的数值解和解析解，并画出x在[0 10]区间上的图形。
如何用matlab求解微分方程的数值解和解析解?
一、微分方程的数值解可以ode函数来求解。其求解方法：
1、自定义微分方程组函数，odefun(x,y)
2、定义x【0，10】间若干等份的数值，如n=50
3、定义y的初值，即
y0=[2,7];
4、使用ode45函数求y(x)，z(x)数值解，即
[x,y]=ode45(@odefun,x,y0);
5、使用plot函数，绘制x—y(x)，x—z(x)曲线图
这里，y(1)代表y(x)的数值解，y(2)代表z(x)的数值解
二、微分方程的解析解可以dsolve函数来求解。
1、对变量y(x)，z(x)进行声明，即
syms y(x) z(x)
2、对变量y(x)，z(x)求一阶导数，即
Dy=diff(y,1);Dz=diff(z,1);
3、使用dsolve求y(x)，z(x)解析表达式，即
[y,z]=dsolve(Dy-z==sin(x),Dz+y==1+x,y(0)==2,z(0)==7)
4、将x【0，10】间划分若干等份，如n=50
5、分别计算与x对应的y(x)，z(x)值
6、使用plot函数，绘制x—y(x)，x—z(x)曲线图
三、使用hold on命令，将微分方程组的数值解曲线图和解析解曲线图，表示在同一图窗中
1
首先得介绍一下，在matlab中解常微分方程有两种方法，一种是符号解法，另一种是数值解法。在本科阶段的微分数学题，基本上可以通过符号解法解决。
2
用matlab解决常微分问题的符号解法的关键命令是dsolve命令。该命令中可以用D表示微分符号，其中D2表示二阶微分，D3表示三阶微分，以此类推。值得注意的是该微分默认是对自变量t求导，也可以很容易在命令中改为对其他变量求导。
3
说了半天，该命令的最完整的形式如下。
r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').
解释如下：eqni表示第i个微分方程，condi表示第i个初始条件，var表示微分方程中的自变量，默认为t。
4
解释了半天，不如用实例来说明。下面以解决一个简单的微分方程入手。方程如下。
解:∵微分方程组为y'-z=sinx，z'+y=1+x
∴有z=y'-sinx，将z=y'-sinx代入方程
z'+y=1+x，得:y"-cosx+y=1+x，
有y"+y=1+x+cosx ∴有
y"sinx+y'cosx-y'cosx+ysinx=
(1+x)sinx+sinxcosx，
(y'sinx)'-(ycosx)'=(1+x)sinx+
sinxcosx，y'sinx-ycosx=-(x+1)cosx+ sinx-0.25cos2x+a(a为任意常数)，
y'/sinx-ycosx/sin²x=
-(x+1)cosx/sin²x+1/sinx-
0.25(1-2sin²x)/sin²x+a/sin²x，
y/sinx=(x+1)/sinx-(a-0.25)cotx+0.5x
+c(c为任意常数)
∴方程的通解为y=x+1-(a-0.25)cosx+
(0.5x+c)sinx
∴z=1+(a-0.5)sinx+(0.5x+c)cosx-
0.5sinx
∵y(0)=2，z(0)=7 ∴有2=1-(a-0.25)，
7=1+c ∴方程的解为
y=x+1+cosx+(0.5x+6)sinx，
z=1-1.5sinx+(0.5x+6)cosx
希望对你有帮助
[Matlab]求解线性方程组
转自：http://silencethinking.blog.163.com/blog/static/911490562008928105813169/
AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\\”。如：
- X=A\\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
- X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
- m＝n 恰定方程，求解精确解；
- m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
- m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
恰定方程组
恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b
其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
- 利用cramer公式来求解法；
- 利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
- 利用gaussian消去法；
- 利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。
超定方程组
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
例 求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
3
x1=A\\b
x1=
1.0000
2.0000
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
1.0000
2.0000
1.0000
A*x1-b
ans=
1.0e-014
-0.0888
-0.0888
-0.1332
0
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
例 解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
1 -2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
-0.0000
0
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
0
-0.0000
0.0000
1.0000
方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
- X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
- X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))norm(A,1)eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
- [X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
例 求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
0.6563
0.6998
W=
-3.6820
-0.0000
-0.0000
x1=A\\b
x1=
-0.3569
0.5744
0.7846
A*X-b
ans=
1.1258
0.1437
-0.1616
A*x1-b
ans=
1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
0
以上是关于matlab微分方程的解？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章