[Matlab]求解线性方程组

Posted 2020-08-12 静待花开

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AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\\”。如：

• X=A\\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
• X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。

对方程组X＝A\\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：

• m＝n 恰定方程，求解精确解；
• m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
• m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。

针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。

恰定方程组

恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：

Ax=b

其中A是方阵，b是一个列向量；

在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：

• 利用cramer公式来求解法；
• 利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
• 利用gaussian消去法；
• 利用lu法求解。

一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

超定方程组

对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；

例 求解超定方程组

A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13] 
A= 
2 -1 3 
3 1 -5 
4 -1 1 
1 3 -13 
b＝[3 0 3 -6]’; 
rank(A) 
ans= 
3 
x1=A\\b 
x1= 
1.0000 
2.0000 
1.0000 
x2=pinv(A)*b
x2= 
1.0000 
2.0000 
1.0000 
A*x1-b 
ans= 
1.0e-014 
-0.0888 
-0.0888 
-0.1332 
0

可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。

欠定方程组

欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。

例 解欠定方程组

A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5] 
A= 
1 -2 1 1 
1 -2 1 -1 
1 -2 1 -1 
1 -2 1 5 
b=[1 -1 5]’ 
x1=A\\b 
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015 
x1= 
0 
-0.0000 
0 
1.0000 
x2=pinv(A)*b 
x2= 
0 
-0.0000 
0.0000 
1.0000

方程组的非负最小二乘解

在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：

• X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
• X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))norm(A,1)eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
• [X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。

例 求方程组的非负最小二乘解

A=[3.4336 -0.5238 0.6710 
-0.5238 3.2833 -0.7302 
0.6710 -0.7302 4.0261]; 
b=[-1.000 1.5000 2.5000]; 
[X,W]=nnls(A,b) 
X= 
0 
0.6563 
0.6998 
W= 
-3.6820 
-0.0000 
-0.0000 
x1=A\\b 
x1= 
-0.3569 
0.5744 
0.7846 
A*X-b 
ans= 
1.1258 
0.1437 
-0.1616 
A*x1-b 
ans= 
1.0e-0.15 
-0.2220 
0.4441 
0

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