bzoj3598: [Scoi2014]方伯伯的商场之旅

Posted 2020-10-10 Troy Ricardo

Description

方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。说来也巧，位置在 i 的人面前的第 j 堆的石子的数量，刚好是 i 写成 K 进制后的第 j 位。

现在方伯伯要玩一个游戏，商场会给方伯伯两个整数 L,R。方伯伯要把位置在 [L, R] 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作，他可以选择一个人面前的两堆石子，将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆，代价是移动的石子数量 * 移动的距离。商场承诺，方伯伯只要完成任务，就给他一些椰子，代价越小，给他的椰子越多。所以方伯伯很着急，想请你告诉他最少的代价是多少。

例如：10 进制下的位置在 12312 的人，合并石子的最少代价为：

1 * 2 + 2 * 1 + 3 * 0 + 1 * 1 + 2 * 2 = 9

即把所有的石子都合并在第三堆

Input

输入仅有 1 行，包含 3 个用空格分隔的整数 L，R，K，表示商场给方伯伯的 2 个整数，以及进制数

Output

 输出仅有 1 行，包含 1 个整数，表示最少的代价。

Sample Input

3 8 3

Sample Output

5

HINT

 1 < =  L < =  R < =  10^15, 2 < =  K < =  20

题解：

　　据说是数位DP水题，EXM？

　　一开始想了个5维DP……想了想不太对，怂了题解……

　　先强制性让集合点为最低位，然后得到一个答案，但显然这个不是最优解，那么考虑当某个数集合点从低位转移到高一位的要求，即此位以前数字之和要大于后面数之和，若用$a_{i}(P)$表示P进制下第i位的数字，这个条件就是：$\sum_{x=i+1}^n a_{x}(P)>=\sum_{x=1}^{i-1}a_{x}(P)$。在考虑如何DP。

　　首先对于强制性选择最低位，可以直接数位DP，这部分很裸；接着，考虑从次低位到最高位为集合点的减少量，记忆化搜索的时候我们传一个选取位置，当当前位数大于等于此值时我们加上此位枚举值，反之减去，若减去到某位后和小于了0，那么说明这个状态不满足进位集合，直接返回0即可。最后我们用第一次DP出的答案减去之后枚举新集合点的减少量即为答案。

　　（话说第一次打记忆化搜索，感觉怪怪的。）

代码（抄来的233）：

　　　

 1 #define Troy 10/11/2017
 2 
 3 #include <bits/stdc++.h>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 typedef long long ll;
 8 
 9 ll f[100][9*20*20],P;
10 
11 int num,p[100];
12 
13 inline ll dfs(int pos,int sum,bool limit){
14     if(pos==0)  return sum;
15     if(!limit&&f[pos][sum]!=-1) return f[pos][sum];
16     int end=limit?p[pos]:P-1;
17     ll ret=0;
18     for(int i=0;i<=end;i++)
19         ret+=dfs(pos-1,sum+(pos-1)*i,limit&&i==end);
20     if(!limit)  f[pos][sum]=ret;
21     return ret;
22 }
23 
24 inline ll dfs(int pos,int up,int sum,bool limit){
25     if(sum<0)   return 0;
26     if(pos==0)  return sum;
27     if(!limit&&f[pos][sum]!=-1) return f[pos][sum];
28     int end=limit?p[pos]:P-1;
29     ll ret=0;
30     for(int i=0;i<=end;i++)
31         if(pos>=up) ret+=dfs(pos-1,up,sum+i,limit&&i==end);
32         else    ret+=dfs(pos-1,up,sum-i,limit&&i==end);
33     return  limit==0?f[pos][sum]=ret:ret;
34 }
35 
36 inline ll calc(ll n){
37     num=0;
38     do{ 
39         p[++num]=n%P;
40         n/=P;
41     }while(n);
42     memset(f,-1,sizeof(f));
43     ll ret=dfs(num,0,true);
44     for(int i=2;i<=num;i++)
45         memset(f,-1,sizeof(f)),ret-=dfs(num,i,0,true);
46     return ret;
47 }
48 
49 int main(){
50     ll a,b;
51     scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&P);
52     printf("%lld\n",calc(b)-calc(a-1));
53 }