51nod 1069 Nim游戏 + BZOJ 1022: [SHOI2008]小约翰的游戏John（Nim游戏和Anti-Nim游戏）

Posted 2020-10-10 谦谦君子，陌上其华

首先，51nod的那道题就是最简单的尼姆博弈问题。

尼姆博弈主要就是判断奇异局势，现在我们就假设有三个石子堆，最简单的（0,n,n）就是一个奇异局势，因为无论先手怎么拿，后手总是可以在另一堆里拿走相同的石子数。

再看另外一个奇异局势（1,2,3）：

①如果先手拿第一个石子堆，那么后手可以形成（0,2,2）的局势，先手必败。

②如果先手拿第二个石子堆的1个石子，那么后手可以形成（1,1,0）的局势，先手必败。

③如果先手拿第二个石子堆的2个石子，那么后手可以形成（1,0,1）的局势，先手必败。

后面的同理分析即可。

现在我们需要考虑的是如何判断一个局势是否是奇异局势？

奇异局势的判断就是所有堆的值异或起来，如果最后等于0就是奇异局势，如果不是则不是奇异局势（异或的原理就是对于二进制的每一位进行运算，如果某一位最后为0，那么就说明该位上有偶数次1出现，偶数次说明什么呢？说明先手在某堆石子操作后，后手总能在另一堆石子里去做相对应的操作）。

那么如果先手面对的是非奇异局势，也只需要一步就可以变成奇异局势，将所有堆的值异或起来（除去最大堆），再用最大堆-该异或值，就是所拿石子数。

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int n;
 5 
 6 int main()
 7 {
 8     while(~scanf("%d",&n))
 9     {
10         int ans=0;
11         for(int i=0;i<n;i++)
12         {
13             int x; scanf("%d",&x);
14             ans^=x;
15         }
16         if(ans) puts("A");
17         else puts("B");
18     }
19     return 0;
20 }

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接下来介绍一下anti-nim游戏，它的话就是取到最后一个石子输。

对于这种题目，它有一个专门的SJ定理：（具体的话就参见论文吧）

对于一个Anti-Nim游戏，只要有以下两条条件之一，先手必胜：

1.游戏的总SG函数为0且任意子游戏的SG函数不超过1；

2.游戏的总SG函数不为0且至少存在一个子游戏的SG函数超过1。

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<vector>
 6 #include<stack>
 7 #include<queue>
 8 #include<cmath>
 9 #include<map>
10 #include<set>
11 using namespace std;
12 typedef long long ll;
13 typedef pair<int,int> pll;
14 const int INF = 0x3f3f3f3f;
15 const int maxn = 50 + 5;
16 
17 int n;
18 
19 int main()
20 {
21     //freopen("in.txt","r",stdin);
22     int T;
23     scanf("%d",&T);
24     while(T--)
25     {
26         int sum=0;
27         scanf("%d",&n);
28         bool flag=false;
29         for(int i=1;i<=n;i++)
30         {
31             int x; scanf("%d",&x);
32             sum^=x;
33             if(x>1)  flag=true;
34         }
35         if((!sum && !flag) || (sum && flag))  puts("John");
36         else puts("Brother");
37     }
38     return 0;
39 }

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