K-Means 聚类算法原理分析与代码实现

Posted 2020-10-09 change_world

转自穆晨

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• 前言
• 现实中的聚类分析问题 - 总统大选
• K-Means 聚类算法
• K-Means性能优化
• 二分K-Means算法
• 小结

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前言

       在前面的文章中，涉及到的机器学习算法均为监督学习算法。

       所谓监督学习，就是有训练过程的学习。再确切点，就是有 "分类标签集" 的学习。

       现在开始，将进入到非监督学习领域。从经典的聚类问题展开讨论。所谓聚类，就是事先并不知道具体分类方案的分类 (允许知道分类个数)。

       本文将介绍一个最为经典的聚类算法 - K-Means 聚类算法以及它的两种实现。

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现实中的聚类分析问题 - 总统大选

       假设 M 国又开始全民选举总统了，目前 Mr.OBM 的投票率为48%(投票数占所有选民人数的百分比)，而 Mr.MKN 的为47%，而剩下的一部分出于【种种原因】没有投票。

       做为其中某个阵营的人，自然是希望能够尽可能的争取到这些剩余的票 -因为这完全可能影响最终选举结果。

       然而，你不可能争取到这些人的所有投票，因为你满足某个群体的人，也许就伤害到了另一群人的利益。

       一个很不错的想法是将这些人分为 K 个群体，然后主要对其中人数最多的几个群体做工作。

       -- 这，就需要使用到聚类的策略了。

       聚类策略是搜集剩余选民的用户信息(各种满意/不满意的信息)，将这些信息输入进聚类算法，然后对聚类结果中人数最多的簇的选民做思想工作。

       可能你会发现某个簇的选民都是一个社区的，一个宗教信仰的，或者具有某些共性。这样就方便各种各样的拉票活动了。

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K-Means 聚类算法

       K，指的是它可以发现 K 个簇；Means，指的是簇中心采用簇所含的值的均值来计算。

       下面先给出伪代码：

1 创建 k 个点作为起始质心 (随机选择):
2     当任意一个点的簇分配结果发生改变的时候:
3         对数据集中的每个数据点:
4             对每个质心:
5                 计算质心与数据点之间的距离
6             将数据点分配到距其最近的簇
7         对每一个簇:
8             求出均值并将其更新为质心

       然后是一个具体实现Python程序：

  1 #!/usr/bin/env python
  2 # -*- coding:UTF-8 -*-
  3 
  4 \'\'\'
  5 Created on 20**-**-**
  6 
  7 @author: fangmeng
  8 \'\'\'
  9 
 10 from numpy import *
 11 
 12 #==================================
 13 # 输入:
 14 #        fileName: 数据文件名(含路径)
 15 # 输出:
 16 #        dataMat: 数据集
 17 #==================================
 18 def loadDataSet(fileName):
 19     \'载入数据文件\'
 20     
 21     dataMat = []
 22     fr = open(fileName)
 23     for line in fr.readlines():
 24         curLine = line.strip().split(\'\\t\')
 25         fltLine = map(float,curLine)
 26         dataMat.append(fltLine)
 27     return dataMat
 28 
 29 #==================================================
 30 # 输入:
 31 #        vecA: 样本a
 32 #        vecB: 样本b
 33 # 输出:
 34 #        sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))): 样本距离
 35 #==================================================
 36 def distEclud(vecA, vecB):
 37     \'计算样本距离\'
 38     
 39     return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))
 40 
 41 #===========================================
 42 # 输入:
 43 #        dataSet: 数据集
 44 #        k: 簇个数
 45 # 输出:
 46 #        centroids: 簇划分集合(每个元素为簇质心)
 47 #===========================================
 48 def randCent(dataSet, k):
 49     \'随机初始化质心\'
 50     
 51     n = shape(dataSet)[1]
 52     centroids = mat(zeros((k,n)))#create centroid mat
 53     for j in range(n):#create random cluster centers, within bounds of each dimension
 54         minJ = min(dataSet[:,j]) 
 55         rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)
 56         centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))
 57     return centroids
 58 
 59 #===========================================
 60 # 输入:
 61 #        dataSet: 数据集
 62 #        k: 簇个数
 63 #        distMeas: 距离生成器
 64 #        createCent: 质心生成器
 65 # 输出:
 66 #        centroids: 簇划分集合(每个元素为簇质心)
 67 #        clusterAssment: 聚类结果
 68 #===========================================
 69 def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
 70     \'K-Means基本实现\'
 71     
 72     m = shape(dataSet)[0]
 73     # 簇分配结果矩阵。一列为簇分类结果，一列为误差。
 74     clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
 75     # 创建原始质心集
 76     centroids = createCent(dataSet, k)
 77     # 簇更改标记
 78     clusterChanged = True
 79     
 80     while clusterChanged:
 81         clusterChanged = False
 82         
 83         # 每个样本点加入其最近的簇。
 84         for i in range(m):
 85             minDist = inf; minIndex = -1
 86             for j in range(k):
 87                 distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
 88                 if distJI < minDist:
 89                     minDist = distJI; minIndex = j
 90             if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True
 91             clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2
 92             
 93         # 更新簇
 94         for cent in range(k):#recalculate centroids
 95             ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
 96             centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) 
 97             
 98     return centroids, clusterAssment
 99  
100 def main():
101     \'k-Means聚类操作展示\'
102     
103     datMat = mat(loadDataSet(\'/home/fangmeng/testSet.txt\'))
104     myCentroids, clustAssing = kMeans(datMat, 4)
105     
106     #print myCentroids
107     print clustAssing
108  
109 if __name__ == "__main__":
110    main()

       测试结果：

　　

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K-Means性能优化

       主要有两种方式：

       1. 分解最大SSE (误差平方和)的簇。

       PS：直接在簇内执行一次 k=2 的 K-Means 聚类即可。

       2. 合并距离最小的簇 或者 合并SSE增幅最小的两个簇。

       基于这两种最基本优化策略，有一种更为科学的聚类算法 - 二分K-Means算法，下面进行详细介绍。

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二分K-Means算法

       该算法大致思路为：首先将所有的点作为一个簇，然后将该簇一分为二。之后选择其中一个簇继续划分。

       选择方法自然是选择SSE增加更小的那个方式。

       如此不断 "裂变"，直到得到用户指定数目的簇。

       伪代码：

1 将所有点视为一个簇:
2     当簇数目小于k时:
3         对于每一个簇:
4             计算SSE
5             在给定的簇上面进行 k=2 的K-Means聚类
6             计算将簇一分为二后的SSE
7         选择使得误差最小的那个簇进行划分操作

       具体实现函数：

 1 #======================================
 2 # 输入:
 3 #        dataSet: 数据集
 4 #        k: 簇个数
 5 #        distMeas: 距离生成器
 6 # 输出:
 7 #        mat(centList): 簇划分集合(每个元素为簇质心)
 8 #        clusterAssment: 聚类结果
 9 #====================================== 
10 def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):
11     \'二分K-Means聚类算法\'
12     
13     m = shape(dataSet)[0]
14     # 聚类结果数据结构
15     clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
16     # 原始质心
17     centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]
18     centList =[centroid0]
19     
20     # 统计原始SSE
21     for j in range(m):
22         clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2
23     
24     # 循环执行直到得到k个簇
25     while (len(centList) < k):
26         # 最小SSE
27         lowestSSE = inf
28         # 找到最适合分裂的簇进行分裂
29         for i in range(len(centList)):
30             ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]
31             centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)
32             sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])
33             sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])
34             
35             if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:
36                 bestCentToSplit = i
37                 bestNewCents = centroidMat
38                 bestClustAss = splitClustAss.copy()
39                 lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit
40     
41         # 本次划分信息
42         bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) 
43         bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit
44         
45         # 更新簇集
46         centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]
47         centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])
48         # 更新聚类结果集
49         clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss
50         
51     return mat(centList), clusterAssment

       测试结果：

　　

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小结

       1. KMeans的用途很广泛，再举个例子吧：比如你计划要去中国100个城市旅游，那么如何规划路线呢？

       ---> 可以采用聚类的方法，将这些城市聚到几个簇里面，然后一个 ”簇"一个 "簇" 的进行游玩。质心就相当于机场，误差平方和就相当于游玩城市到质心的距离 :)

       2. KMeans算法是很常用的聚类算法，然而，这里也要提一提它的缺点：初始质心及K值的指定对结果影响较大。这个话题也衍生出很多研究论文，有兴趣的读者可以进一步研究。