线段树 学习笔记

Posted 2020-10-09

类似于区间树，在各个节点保存的是一条线段（子数组），可高效解决连续区间动态查询问题。

*单点或区间的修改 区间的最值以及求和

可基本保持单次操作为log的复杂度。

线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父亲节点的左半区间和右半区间。如果父亲节点是[a,b]，那么令c = (a+b) / 2,有左儿子[a,c]，右儿子[c+1,b]。

可以用来求解形似下面的问题：

给定一个数列，要求你查找某个区间内的最小值，支持元素的更新。

朴素的做法显然，但是时间复杂度高达O(n)，尽管所需额外空间复杂度只有O(1)，但时间复杂度增长太高，这是我们不能接受的。

还有一种做法是用一个二维数组提前处理好区间[i,j]的最小值，这样可以O(1)查询，但当数据很大时，O(n^2)的空间开销无法承受。并且这样做在有更改操作时会变得非常麻烦。

线段树的做法。有一个O(n)的预处理，查询和更新操作均为O(logn)，额外的空间复杂度是O(n)。

比如有一个[1,6]的二叉树。

 　　

（博客园传图系统炸了？跟我提示Sorry, an error occurred while processing your request.）

 

叶节点是原始数组中的元素，非叶节点代表所有子孙节点所在区间的最小值。由于线段树的父节点平均分割左右子树，所以线段树是完全二叉树。

*线段树的创建

数组模拟存储与链式存储。这里使用前一种。

定义包含n个节点的线段树int segtree_val[maxn],segtree_val[0]表示根节点，对于节点segtree_val[i]，它的左儿子是segtree_val[2*i+1]，右儿子是segtree[2*i+2]。

从根节点开始，平分区间， 递归的创建线段树。

这是优化之后的代码。

 

 1 const int INF = 0x3f3f3f;
 2 const int N = 1000;
 3 int a[N];
 4 struct segment_tree{
 5 #define lson (o<<1)
 6 #define rson (o<<1|1)
 7     int sumv[N*4];
 8     int minv[N<<2],addv[N<<2];
 9     //存储线段树的区间和，一般二倍大即可，但有部分情况会超过二倍大小，所以开四倍大比较保险
10     inline void push_up(int o){
11         sumv[o] = sumv[lson] + sumv[rson];
12     }
13     inline void pushdown(int o){
14         if (!addv[o])
15             return;
16     }
17     inline void build(int o,int l,int r){
18         if (l==r){
19             sumv[o] == a[l];
20             return ;
21         }
22         int mid = (l+r) >> 1;
23         build(lson,l,mid);
24         builf(rson,mid+1,r);
25         push_up(o);
26 
27     }
28     inline int querymin(int o,int l,int r,int ql,int qr){
29         if (ql <= l && r <= qr)
30             return sumv[o];
31         int mid = (l+r) >> 1;
32         int ans = INF;
33         pushdown(o);
34         if (ql <= mid)
35             ans = min(ans,querymin(lson,l,mid,ql,qr));
36         if (qr > mid)
37             ans = min(ans,querymin(rson,mid+1,r,ql,qr));
38         return ans;
39     }
40 
41     inline void change(int o,int l,int r,int q,int v){
42         if (l==r){
43             minv[o] += v;
44             return;
45         }
46         int mid = (l+r) >> 1;
47         if (q<=mid)
48             change(lson,l,mid,q,v);
49         else
50             change(rson,mid+1,r,q,v);
51         push_up(o);
52     }
53     
54     inline void optadd(int o,int l,int r,int ql,int qr,int v){
55         if (ql <= l && r <= qr){
56             minv[o]+=v;
57             addv[o]+=v;
58             return ;
59         }
60         int mid = (l+r) >> 1;
61         pushdown(o);
62         if (ql <= mid)
63             optadd(lson,l,mid,ql,qr,v);
64         if (qr > mid)
65             optadd(rson,mid+1,r,ql,qr,v);
66         push_up(o);
67     }
68 };

 

*查询线段树

我们的任务是查找某个区间上的最小值，查询的思想是选出一些区间，让它们相连后恰好覆盖整个覆盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。

 

*单节点更新

指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点产生一些影响，因此更新子节点后，要一并更新父节点的值。

 

*区间更新

指更新某个区间内的叶节点的值，因为涉及到的叶节点不止一个，而叶节点会影响相应的父节点，那么需要更新的父节点就会有很多，如果一次性更新完，性能是达不到要求的。

为此引入了线段树的懒惰标记概念。（lazy tag），这是线段树的精华所在。

懒惰标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改（这种修改会影响子节点），对于任意区间的修改，先按照区间查询的方式将其划分成线段树的节点，然后去修改这些节点的信息，并给这些节点打上修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。

因此需要在线段树结构中加入延迟标记区域，我们加入标记addv，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addv的值，同时还需要修改创建函数build和查询函数querymin，区间更新的函数为optadd。