? P2152 [SDOI2009]SuperGCD (luogu)

Posted 2020-10-09 DDYYZZ

Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。

算法思想：

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

算法步骤：

1、如果An=Bn,那么An(或Bn)*Cn是最大公约数,算法结束

2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束

3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束

4、设置A1=A、B1=B和C1=1

5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)

6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)

8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn

9、n加1，转1

 

简单来看就是：

对于求a,b的GCD(a,b)有：

若a为奇数，b为偶数，GCD(a,b)=GCD(a,b/2)

若a为偶数，b为奇数，GCD(a,b)=GCD(a/2,b)

若a为偶数，b为偶数，GCD(a,b)=2*GCD(a/2,b/2)

若a为奇数，b为奇数，GCD(a,b)=GCD(a-b,b) (a>b) 或 GCD(a,b-a) (b>a)

 

题目描述：Sheng bill有着惊人的心算能力，甚至能用大脑计算出两个巨大的数的GCD（最大公约 数）！因此他经常和别人比赛计算GCD。有一天Sheng bill很嚣张地找到了你，并要求和你比 赛，但是输给Sheng bill岂不是很丢脸！所以你决定写一个程序来教训他。

输入输出格式

输入格式：

共两行： 第一行：一个数A。 第二行：一个数B。

 

输出格式：

一行，表示A和B的最大公约数。

 

输入输出样例

输入样例#1：

12
54

输出样例#1：

6

说明

对于20%的数据，0 < A , B ≤ 10 ^ 18。

对于100%的数据，0 < A , B ≤ 10 ^ 10000。（令人惊恐的数据）

解法：压位+stein算法

代码如下：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 1000000000
using namespace std;
char ch1[10005],ch2[10005];
int la,lb,cnt;
struct data{
    int a[1205],l;

}a,b;
bool com(){//判断大小 
    if (a.l<b.l) return 0;
    if (a.l>b.l) return 1;
    for (int i=a.l;i>0;i--)
            if (a.a[i]>b.a[i]) return 1;
        else if (a.a[i]<b.a[i]) return 0;
    return 1;
}
void print(data a){//打印结果 
    while (a.a[a.l]==0)
        a.l--;
    for (int i=a.l;i>0;i--)
        if (i==a.l) printf("%d",a.a[i]);
        else printf("%09d",a.a[i]);//因为压了位 特判中间是否有0的情况 
}
data sub(data a,data b){//相减 
    int k; data c;
    for (int i=1;i<=1200;i++){
        if (i<=b.l) c.a[i]=a.a[i]-b.a[i];
        else if (i<=a.l) c.a[i]=a.a[i];
        else c.a[i]=0;
        if (c.a[i]<0){
            c.a[i]+=inf;
            a.a[i+1]--;
        }
    }
    c.l=a.l;
    while (c.a[c.l]==0&&c.l) c.l--;
    return c;
}
void diva(){// a除2 
    for (int i=1;i<=a.l;i++){
        if (a.a[i]&1) a.a[i-1]+=inf/2;
        a.a[i]>>=1;
    }
    if (!a.a[a.l]) a.l--;
}
void divb()// b除2 
{
    for (int i=1;i<=b.l;i++){
        if (b.a[i]&1) b.a[i-1]+=inf/2;
        b.a[i]>>=1;
    }
    if (!b.a[b.l]) b.l--;
}
void mul(){ // a b 都×2 
    for (int i=a.l;i>0;i--){
        a.a[i]<<=1;
        a.a[i+1]+=a.a[i]/inf;
        a.a[i]%=inf;
    }
    while (a.a[a.l]>0) a.l++;
    for (int i=b.l;i>0;i--){
        b.a[i]<<=1;
        b.a[i+1]+=b.a[i]/inf;
        b.a[i]%=inf;
    }
    while (b.a[b.l]>0) b.l++;
}
int main()
{
    //读入数据 
    scanf("%s%s",ch1+1,ch2+1);
    la=strlen(ch1+1); lb=strlen(ch2+1); 
    if (la%9) a.l=la/9+1; else a.l=la/9;
    if (lb%9) b.l=lb/9+1; else b.l=lb/9;
    for (int i=1;i<=a.l;i++){
        int k1=max(1,la-i*9+1),k2=la-(i-1)*9;
        for (int j=k1;j<=k2;j++) a.a[i]=a.a[i]*10+ch1[j]-‘0‘;
    }
    for (int i=1;i<=b.l;i++){
        int k1=max(1,lb-i*9+1),k2=lb-(i-1)*9;
        for (int j=k1;j<=k2;j++) b.a[i]=b.a[i]*10+ch2[j]-‘0‘;
    }

    while (1){
        if ((a.a[1]%2==0)&&(b.a[1]%2==0)) {
            diva();
            divb();
            cnt++;    //这里的cnt是指出现了多少次 a，b都是偶数的情况，在最后的时候再把cnt个2乘回去 （参见最上方算法）
        } 
        else if (a.a[1]%2==0) 
            diva();
        else if (b.a[1]%2==0) 
            divb();
        if (com()){// a大的情况 
            a=sub(a,b); 
            if (!a.l) {
                while (cnt--)  
                    mul(); 
                print(b); 
                break;
            }
        }
        else { //b大的情况 
            b=sub(b,a); 
            if (!b.l) {
                while (cnt--) 
                    mul(); 
                print(a);
                break;
            }
        }
    }

    return 0;
}