汕头市队赛SRM 20 T3 灵魂觉醒

Posted 2020-10-09 友人A

背景

        自从芽衣、布洛妮娅相继灵魂觉醒之后，琪亚娜坐不住了。自己可是第一个入驻休伯利安号的啊！于是她打算去找德丽莎帮忙，为她安排了灵魂觉醒的相关课程。

        第一天，第一节课。

        “实现灵魂觉醒之前，你需要先将自己的崩坏能按顺序排好……”

        “诶诶，这个要怎么做呢？”算法课没认真听讲也是没有办法的嘛。

        于是，琪亚娜设(xia)计(bian)了一套自己的排序方法。

描述

        我们可以用n张卡片代表崩坏能，上面恰好写了1到n。

        一开始这些卡片是随机排列的，然后为了把它们从小到大排好序，进行如下操作：

        ①如果卡片已经按1到n排好序，结束操作。

        ②观察现有排列，如果某一个大于1的区间内的数是顺序加一的，就把这个区间内的卡片粘起来，它们在以后的操作中不会分开。（比如15234这个排列会把234粘起来）

        ③把所有卡片随机排列（粘在一起的不分开），然后回到①。

        恰好路过的符华对这种排序方法非常感兴趣，希望知道它的期望复杂度。于是求期望进行③操作的次数的任务就交给你了。答案对1e9+7取模。

输入格式

        一个不超过2000的整数n。

输出格式

        一个整数，答案对1e9+7取模后的结果。

样例输入

3

样例输出

333333338

数据范围与约定

测试点	n
1	1
2	5
3	8
4	10
5	13
6	<=1000
7	<=1000
8	<=2000
9	<=2000
10	<=2000

样例解释 

n=3时的精确值是

 

后记：

琪亚娜·卡斯兰娜：你们是怎么排序的啊？

雷电芽衣：有个库函数叫sort来着……

布洛妮娅：对，挺快的。

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这题一开始我想着暴力 ans[x]=sigma g[x][y]*ans[y]

g[x][y]表示长度为x的排列 排一次之后缩成y段的概率

g[x][y]可以暴力算 不过后来打表发现是个组合数 然后就可以A辣

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
const int M=2e3+7,mod=1e9+7;
int read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){ans=ans*10+(c-‘0‘); c=getchar();}
    return ans*f;
}
int n,k;
int g[M][M];
LL w[M],inv[M];
LL pmod(LL a,LL b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        b>>=1; a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
void prepare(){
    w[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=w[i-1]*i%mod;
    inv[n]=pmod(w[n],mod-2);
    for(int i=n;i;i--) inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
int f[M],v[M],s[M],ans[M];
void P(int &x){x=(x%mod+mod)%mod;}
int main(){
    n=read(); prepare();
    for(int j=1;j<=n;j++){
        g[j][j]=w[j]-s[j]; P(g[j][j]);
        for(int i=j+1;i<=n;i++){
            g[i][j]=g[j][j]*(w[i-1]*inv[j-1]%mod*inv[i-j]%mod)%mod; P(g[i][j]);
            s[i]+=g[i][j]; P(s[i]);
        }
    }
    ans[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        LL ly=0;
        for(int j=2;j<i;j++) ly=(ly+1LL*g[i][j]*inv[i]%mod*(ans[j]+1)%mod)%mod;
        ans[i]=((ly+g[i][i]*inv[i]%mod)*pmod((1-g[i][i]*inv[i]%mod+mod)%mod,mod-2))%mod;
    }printf("%d\n",ans[n]);
    return 0;
}

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