莫比乌斯反演——蒟蒻的理解

Posted 2020-10-09 Troy Ricardo

　　序：最近被反演虐的不要不要的，遂决定写一篇博文，防止以后自己翻车……

1.定义

　　莫比乌斯函数：$\mu(n)$

$\begin{cases}
& \text{ if } x= \prod_{i=1}^kp_i\;\;\mu(x)=(-1)^k\\
\\
& \text{ else }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mu(x)=0
\end{cases}$

　　 我们引入一个概念，狄利克雷卷积。即$（f*g）(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac n d)$。显然，狄利克雷卷积是满足交换律的。同时其也满足结合律与分配率。

　　在引入一个概念，积性函数，即函数$f$对于互质的两个数$i，j$满足$f(i*j)=f(i)*f(j)$。其中如果对于任意$i,j$满足$f(i*j)=f(i)*f(j)$，我们称其为完全积性函数。

　　再例举一些函数的符号：欧拉函数$\phi$，约数个数函数$d$，约数和函数$\sigma$，单位函数$id(n)=n$，元函数$\varepsilon(n)$,当n为1时，$\varepsilon(n)=1$，否则$\varepsilon(n)=0$，以及不变的函数$1(n)=1$。

　　这里给出一个线性筛的板子：

　　

 1 const int N=1e7+1;
 2  
 3 int miu[N],prim[N/5],num,sum[N];
 4 bool vis[N];
 5  
 6 inline void init(){
 7     miu[1]=1;
 8     sum[1]=1;
 9     for(int i=2;i<N;i++){
10         if(!vis[i])
11             prim[++num]=i,miu[i]=-1;
12         for(int j=1;prim[j]*i<N;j++){
13             vis[i*prim[j]]=1;
14             if(i%prim[j]==0){
15                 miu[i*prim[j]]=0;
16                 break;
17             }
18             miu[i*prim[j]]=-miu[i];
19         }
20         sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
21     }
22 }

 

 

 

2.莫比乌斯函数的性质

　　这一段是从目前做过的题总结的，以后没准还得改（没准写的不够……）

　　 莫比乌斯函数一个十分总要的性质，即$(\mu *1)(n)$当且仅当$n==1$时，为1，否则为0。

　　关于这个的证明用 二项式定理+唯一分解定理 是很好证明的，这里就不多说了。

3.莫比乌斯反演

　　关于这块，一来是式子太长，二来是百度已经写得很全面了，所以蒟蒻就不献丑了。

　　参考链接：百度百科。

　　我想，这里比较重要的一个性质是：$F(n)=(f*1)(n)$，若$f$为积性函数，则$F(n)$也是积性函数。

　　证明如下：

　　设$\gcd (n,p)==1$。

　　$F(n*p)=\sum_{i|n}\sum_{j|p}f(i*j)=\sum_{i|n}f(i)\sum_{j|p}f(j)=F(n)*F(p)$

　　证毕。

　　这个性质在我们反演出一个形如$ans=\sum_{i=1}^{n}g(i)\sum_{d|i}f(d)$的式子时，若$f$为积性函数，则我们可以将这个式子时间复杂度优化到至少$O(n)$。

　　例如：

　　$$F(n)=\sum_{i|n}\mu(i)*i*n$$

4.关于做题

　　这个我也没有什么发言权，毕竟我太弱了……但还是想总结一下自己的想法。

　　反演最重要的是$gcd(i,j)==1$等价为$\sum_{d|t}\mu(d),t=gcd(i,j)$这一式子，在目前所遇到的题目中，关键都是如何将题目给出的内容转化为$gcd$，并且正确的化解，这个我也不怎么会，只能多练习了。

5.总结

　　个人觉得一些基本证明会不会都不是很重要，毕竟也不可能考为什么$id=(\phi*1)$之类的，明白其过程，对思考有启发就足以。

6.一些题目：

　　　BZOJ　YY的GCD

　　BZOJ 4176 Lucas的数论
　　BZOJ 3930 CQOI2015 选数
　　bzoj2693: jzptab
　　BZOJ 4174 tty的求助
　　BZOj　3601：一个人的数论