机器学习公开课笔记(10)：大规模机器学习

Posted 2020-06-09

批梯度下降 (Batch Gradient Descent)

以线性回归为例，用梯度下降算法进行参数更新的公式为$$\theta_j=\theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$$可以看到每次参数更新一次，都需要将整个训练集扫描一遍，所以称为批梯度下降，这种更新方式对于参数集很大的集合（例如m=100,000,000）运行速度十分慢，为了加快算法运行速度，提出了随机梯度下降。

随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent)

每次仅用一个example来更新参数$\theta$，仍以线性回归为例，随机梯度下降算法为

1. 随机重排列整个训练集(shuffle)

2. 重复下列过程多次(数据集较大时可以重复1~10次)

    for i = 1, ..., m {
　　　$\theta_j=\theta_j-\alpha(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$
    }

小批梯度下降 (Mini-Batch Gradient Descent)

介于批梯度下降和随机梯度下降之间，批梯度处理利用全部m个example进行参数更新；随机梯度下降只用1个example进行参数更新；而Mini梯度下降使用b(1<b<m)个example进行参数更新。仍以线性回归为例，加入我们有m=1000个example，我们可以用每b=10个example进行参数更新，例如:

Repeat {
        for i = 1, 11, 21, ..., 991 {
                $\theta_j=\theta_j-\alpha\frac{1}{10}\sum\limits_{k=i}^{i+9}(h_\theta(x^{(k)})-y^{(k)})x_j^{(k)}$
        }
}

算法收敛性

批梯度处理能够保证算法收敛到最小值(如果选择的学习速率$\alpha$合适的话），可以plot代价函数$J(\theta)$随迭代次数的曲线，如果曲线是总是下降的，则能够收敛，反之需要调整学习速率。

随机梯度下降并不能保证算法收敛到最小值，最终结果可能是在最小值附近来回游走，为了观察其收敛特性，可以plot每100(1000)次迭代时100个example代价函数函数$\text{cost}(\theta,(x^{(i)}, y^{(i)}))$的平均值，如果是下降趋势，则可以收敛，否则可能需要调整增大或者减小平均的example数（将100改为1000或者10等），减小或者增大学习速率。

在线学习 (Online Learning)

之前的算法都是有一个固定的训练集来训练模型，当模型训练好后对未来的example进行分类、回归等。在线学习则不同，它对每个新来的example进行模型参数更新，因此不需要固定的训练集，参数更新的方式则是采用随机梯度下降。在线学习的优势是模型参数可以随用户的偏好自适应的进行调整，以logistic回归为例，在线学习方式如下:

Repeat forever {
        1. 获取当前example (x, y)
        2. 使用(x,y)进行参数更新：$\theta_j=\theta_j-\alpha(h_\theta(x)-y)x_j$
}

MapReduce和数据并行化

这部分内容Andrew Ng讲得不多，可以认为仅仅讲了多个机器的求和问题，比如如何求解1+2+3+...+1000？Map过程：四个机器分别计算1+2+...+250，251+252+...+500, 501+502...+750，751+752+...+1000，然后Reduce过程：将四个机器求和的结果sum1,sum2,sum3,sum4汇总到一台机器上，计算sum1+sum2+sum3+sum4。