[BeiJing2011]元素

Posted 2020-10-09 Z-Y-Y-S

Description

  相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔
法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。
一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而
使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制
出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过
一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。
  后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量
的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编
号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔
法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来
为零。 （如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释。 ）例如，使用两
个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起
来为零。 
  并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力
等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，
并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
   现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多
有多大的魔力。 
 

Input

第一行包含一个正整数N，表示矿石的种类数。
  接下来 N行，每行两个正整数Numberi 和 Magici，表示这种矿石的元素序号
和魔力值。

Output

仅包一行，一个整数：最大的魔力值

Sample Input

3
1 10
2 20
3 30

Sample Output

50

HINT

 

由于有“魔法抵消”这一事实，每一种矿石最多使用一块。

如果使用全部三种矿石，由于三者的元素序号异或起来：1 xor 2 xor 3 = 0 ，

则会发生魔法抵消，得不到法杖。

可以发现，最佳方案是选择后两种矿石，法力为 20+30=50。

对于全部的数据：N ≤ 1000，Numberi ≤ 10^18

，Magici ≤ 10^4

线性基

这里给出一个不错的网址:http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html

这里总结一下

 

性质一：最高位1的位置互不相同。  这是根据上面的构造方法得出的。

 

性质二：任意一个可以用这些向量组合出的向量x,组合方式唯一。

 

性质三：线性基的任意一个子集异或和不为0.

 

很多情况下，只有有关异或运算和求最值，就可以用到线性基。线性基有很多很好的性质，比如说如果有很多个数，我们可以构出这些数的线性基，那么这个线性基可以通过互相xor，能够构出原来的数可以相互xor构出的所有的数。所以可以大大减少判断的时间和次数。同时线性基的任何一个非空子集都不会使得其xor

 

显然这道题可以用线性基来维护一个我们选取的非空子集中不存在异或为0的情况，但是我们还需要得到的权值最大，那么直接对于每件物品按权值排序，按权值从大到小插入到线性基中就可以保证得到的线性基中的元素是权值之和最大的。

贪心的正确性 证明可以用拟阵。  可以参考 刘雨辰的 《对拟阵的初步研究》的线性拟阵内容 。

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 struct Node
 7 {
 8   long long N,M;
 9 }s[2001];
10 int n;
11 long long pw[63],ans,A[63];
12 bool cmp(Node a,Node b)
13 {
14   return a.M>b.M;
15 }
16 int main()
17 {int i,j;
18   cin>>n;
19   pw[0]=1;
20   for (i=1;i<=62;i++)
21     pw[i]=pw[i-1]*2;
22   for (i=1;i<=n;i++)
23     {
24       scanf("%lld%lld",&s[i].N,&s[i].M);
25     }
26   sort(s+1,s+n+1,cmp);
27   for (i=1;i<=n;i++)
28     {
29       for (j=62;j>=0;j--)
30     if (s[i].N&pw[j])
31       {
32         if (A[j]) s[i].N^=A[j];
33         else {A[j]=s[i].N;break;}
34       }
35       if (s[i].N)
36       ans+=s[i].M;
37     }
38   cout<<ans;
39 }