BZOJ 2460: [BeiJing2011]元素

Posted 2020-08-29 You Siki

2460: [BeiJing2011]元素

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Description

    相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。 
    后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来为零。 （如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释。 ）例如，使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起来为零。 
    并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。 
    现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。 

Input

第一行包含一个正整数N，表示矿石的种类数。 
接下来 N行，每行两个正整数Numberi 和 Magici，表示这种矿石的元素序号
和魔力值。

 

Output

仅包一行，一个整数：最大的魔力值

 

Sample Input

3
1 10
2 20
3 30

Sample Output

50

HINT

由于有“魔法抵消”这一事实，每一种矿石最多使用一块。 

如果使用全部三种矿石，由于三者的元素序号异或起来：1 xor 2 xor 3 = 0 ，

则会发生魔法抵消，得不到法杖。 

可以发现，最佳方案是选择后两种矿石，法力为 20+30=50。 

 

对于全部的数据：N ≤ 1000，Numberi ≤ 10^18，Magici ≤ 10^4。

 

Source

Day2

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经过对题意的分析，发现选出的矿石应当构成一组线性基（即其任意一个非空子集的异或和都不为0）。

然后，因为每个矿石带有权值，所以我们需要选出最大权值和的一组线性基。

这个可以贪心的做，先对于所有矿石按照权值从大到小排序，然后贪心的插入线性基。

然后吧，我就mengbi了，虽然知道怎么用高斯消元得到一组简化线性基，但还真是不会维护线性基并不断插入新的数字，经过一番学习和思考，记录该过程如下：

假设我们现在已经插入了前$i-1$个数字，并且线性基为$S$，那么我们新插入一个数字$A_{i}$，我们只想知道能否用已有的线性基异或出这个数字。

我们用$Num_{j}$表示前$i-1$个数字中，其中一个二进制下最高位（最高的1）为$j$的数字。因为前$i-1$个数字一定都能用线性基表示，因此$Num_{j}$是否属于$S$无关紧要，反正我们都能表示出来。

从最高位向下扫描$A_{i}$的每个二进制位，如果$j$位为1，为了异或出这个1，我们需要用到$Num_{j}$，所以将$A_{i}$异或上$Num_{j}$，然后继续该过程。

最终如果$A_{i}$不为0，说明不能用前$i-1$个数字异或出该数，即将该数加入线性基集合$S$。

 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 
 4 typedef long long lnt;
 5 
 6 const int mxn = 1005;
 7 
 8 struct data
 9 {
10     lnt a;
11     int b;
12 }s[mxn];
13 
14 inline bool cmp(const data &a, const data &b)
15 {
16     return a.b > b.b;
17 }
18 
19 int n, ans;
20 
21 lnt num[mxn];
22 
23 signed main(void)
24 {
25     scanf("%d", &n);
26     
27     for (int i = 1; i <= n; ++i)
28         scanf("%lld%d", &s[i].a, &s[i].b);
29     
30     std::sort(s + 1, s + 1 + n, cmp);
31     
32     for (int i = 1; i <= n; ++i)
33     {
34         for (int j = 65; ~j; --j)
35             if ((s[i].a >> j) & 1)
36             {
37                 if (num[j])
38                     s[i].a ^= num[j];
39                 else
40                 {
41                     num[j] = s[i].a;
42                     break;
43                 }
44             }
45         
46         if (s[i].a)ans += s[i].b;
47     }
48     
49     printf("%d\n", ans);
50 }

 

@Author: YouSiki