BZOJ1937[Shoi2004]Mst 最小生成树 KM算法（线性规划）

Posted 2020-10-08 CQzhangyu

【BZOJ1937】[Shoi2004]Mst 最小生成树

Description

Input

第一行为N、M，其中 表示顶点的数目， 表示边的数目。顶点的编号为1、2、3、……、N-1、N。接下来的M行，每行三个整数Ui，Vi，Wi，表示顶点Ui与Vi之间有一条边，其权值为Wi。所有的边在输入中会且仅会出现一次。再接着N-1行，每行两个整数Xi、Yi，表示顶点Xi与Yi之间的边是T的一条边。

Output

输出最小权值

Sample Input

6 9
1 2 2
1 3 2
2 3 3
3 4 3
1 5 1
2 6 3
4 5 4
4 6 7
5 6 6
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6

Sample Output

8
【样例说明】
边(4,6)的权由7修改为3，代价为4
边(1,2)的权由2修改为3，代价为1
边(1,5)的权由1修改为4，代价为3
所以总代价为4+1+3=8
修改方案不唯一。

HINT

 1<=n<=50,1<=m<=800,1<=wi<=1000
n-->点数..m-->边数..wi--->边权

题解：神题~

显然，树边的权值一定减小，非树边的权值一定增大，所以如果非树边j覆盖了树边i，则有wj+dj>=wi-di，即di+dj>=wi-wj。所以这。。。tm是KM算法中的顶标？

复习KM的原理，KM算法就是始终满足：对于每条边a-b，l(a)+l(b)>=v(a,b)，并且所有l(a)+l(b)=v(a,b)的边构成的子图叫相等子图。并在满足上述条件下不断调整定标，使得相等子图不断扩大。

而对于本题，让wi-wj就是边权，然后求出最优匹配既是答案。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,Cnt,nm,ans;
int map[60][60],pa[810],pb[810],pc[810],To[110],Next[110],Val[110],Head[60],len[60];
int fa[60],dep[60],bel[60],la[60],lb[810],va[60],vb[810],from[810],v[60][810];
inline void Add(int a,int b,int c)
{
	To[Cnt]=b,Val[Cnt]=c,Next[Cnt]=Head[a],Head[a]=Cnt++;
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
void Dfs(int x)
{
	for(int i=Head[x];i!=-1;i=Next[i])	if(To[i]!=fa[x])	fa[To[i]]=x,dep[To[i]]=dep[x]+1,bel[To[i]]=Val[i],Dfs(To[i]);
}
void build(int a,int b,int c)
{
	if(dep[a]<dep[b])	swap(a,b);
	while(dep[a]>dep[b])	v[bel[a]][nm]=max(0,len[bel[a]]-c),a=fa[a];
	while(a!=b)	v[bel[a]][nm]=max(0,len[bel[a]]-c),v[bel[b]][nm]=max(0,len[bel[b]]-c),a=fa[a],b=fa[b];
}
int dfs(int x)
{
	va[x]=1;
	for(int y=1;y<=nm;y++)	if(!vb[y]&&la[x]+lb[y]==v[x][y])
	{
		vb[y]=1;
		if(!from[y]||dfs(from[y]))
		{
			from[y]=x;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd();
	int i,j,k,a,b;
	memset(Head,-1,sizeof(Head));
	for(i=1;i<=m;i++)	pa[i]=rd(),pb[i]=rd(),pc[i]=rd(),map[pa[i]][pb[i]]=map[pb[i]][pa[i]]=i;
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		a=rd(),b=rd(),Add(a,b,i),Add(b,a,i),len[i]=pc[map[a][b]],map[a][b]=map[b][a]=0;
	}
	dep[1]=1,Dfs(1);
	for(i=1;i<=m;i++)	if(map[pa[i]][pb[i]])
	{
		nm++;
		build(pa[i],pb[i],pc[i]);
	}
	for(i=1;i<=n;i++)	for(j=1;j<=nm;j++)	la[i]=max(la[i],v[i][j]);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		while(1)
		{
			memset(va,0,sizeof(va)),memset(vb,0,sizeof(vb));
			if(dfs(i))	break;
			int tmp=1<<30;
			for(j=1;j<=n;j++)	if(va[j])	for(k=1;k<=nm;k++)	if(!vb[k])	tmp=min(tmp,la[j]+lb[k]-v[j][k]);
			if(tmp==1<<30)	break;
			for(j=1;j<=n;j++)	if(va[j])	la[j]-=tmp;
			for(j=1;j<=nm;j++)	if(vb[j])	lb[j]+=tmp;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)	ans+=la[i];
	for(i=1;i<=nm;i++)	ans+=lb[i];
	printf("%d",ans);
	return 0;
}