洛谷 P2730 魔板 Magic Squares

Posted 2020-10-08 一蓑烟雨任生平

P2730 魔板 Magic Squares

题目背景

在成功地发明了魔方之后，鲁比克先生发明了它的二维版本，称作魔板。这是一张有8个大小相同的格子的魔板：

1 2 3 4

8 7 6 5

题目描述

我们知道魔板的每一个方格都有一种颜色。这8种颜色用前8个正整数来表示。可以用颜色的序列来表示一种魔板状态，规定从魔板的左上角开始，沿顺时针方向依次取出整数，构成一个颜色序列。对于上图的魔板状态，我们用序列（1，2，3，4，5，6，7，8）来表示。这是基本状态。

这里提供三种基本操作，分别用大写字母“A”，“B”，“C”来表示（可以通过这些操作改变魔板的状态）：

“A”：交换上下两行；

“B”：将最右边的一列插入最左边；

“C”：魔板中央四格作顺时针旋转。

下面是对基本状态进行操作的示范：

A: 8 7 6 5

1 2 3 4

B: 4 1 2 3

5 8 7 6

C: 1 7 2 4

8 6 3 5

对于每种可能的状态，这三种基本操作都可以使用。

你要编程计算用最少的基本操作完成基本状态到目标状态的转换，输出基本操作序列。

输入输出格式

输入格式：

 

只有一行，包括8个整数，用空格分开（这些整数在范围 1——8 之间）不换行，表示目标状态。

 

输出格式：

 

Line 1: 包括一个整数，表示最短操作序列的长度。

Line 2: 在字典序中最早出现的操作序列，用字符串表示，除最后一行外，每行输出60个字符。

 

输入输出样例

输入样例#1：

2 6 8 4 5 7 3 1 

输出样例#1：

7 
BCABCCB

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 3.2

思路：见代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 5e4 + 5, M = 165e5;
const int G[3][9]={{0,8,7,6,5,4,3,2,1}, //操作A：交换上下两行 
                   {0,4,1,2,3,6,7,8,5}, //操作B：将最右边的一列插入最左边 
                   {0,1,7,2,4,5,3,6,8}};//操作C：魔板中央四格作顺时针旋转 
//我们可以用一个常量数组来简单地表示ABC三种操作 
//即经过这一次操作后，现在状态中的第i个位置是有原先的哪一个位置变换来的 
int h[N][9],a[9],pf[N][2];
char stk[N];
int t,w=1,x,edt,now,top;
bool vis[M]; //用于判重的bool数组 
int main(){
    for(int i=1;i<=8;++i){
        scanf("%d",&x);
        edt=(edt<<3)+x-1;
    }
    //同样将目标状态转换为八进制数，便于我们直接判断 
    for(int i=1;i<=8;++i) 
        now=(now<<3)+(h[1][i]=i-1);
    //“<< 3”即表示位运算的右移三位，也就是乘以8 
    vis[now]=true; //注意初始状态也要标记为已经搜索过 
    if(now==edt)
        return puts("0"), 0;
    //注意如果初始状态和目标状态相同应直接退出 
    while((t++)<w){
        for(int i=0;i<3;++i){
        //对于答案中的操作字典序问题，我们考虑按照操作ABC的顺序搜索
        //这样先搜索到的一定是字典序最小的 
            now=0;
            for(int j=1;j<=8;++j) 
                now=(now<<3)+(a[j]=h[t][G[i][j]]);
            //计算经过转换后的状态 
            if(vis[now])    continue; //判重 
            vis[now]=true;
            pf[++w][0]=t;
            pf[w][1]=i+‘A‘;
            //因为题目中要求输出操作序列
            //记录队列中每一个元素是由之前的哪一个元素、经过哪一个操作转换来的
            //然后按着当前搜到的目标状态倒着找回去，再顺着输出操作就是答案了 
            h[w][0]=h[t][0]+1;
            for(int j=1;j<=8;++j)
                h[w][j]=a[j];
            if(now==edt){ //转换到了目标状态 
                printf("%d\n",h[w][0]);
                x=w;
                while(pf[x][0]){
                    stk[++top]=pf[x][1];
                    x=pf[x][0];
                }
                //数组stk即记录转换到目标状态依次进行的操作 
                for(int i=top;i>=1;--i)
                    putchar(stk[i]);
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}