extend_gcd求解不定方程／膜线性方程／乘法逆元

Posted 2020-07-01 指尖泛出的繁华

形如a*x+b*y=c

为不定方程，a,b>0其实无所谓，因为gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)   //gcd为最大公约数

由数论的定理所知，当c%gcd==0，不定方程有解,现在我们来求这个解.

gcd=gcd(a,b);a*b=gcd*lcm;  //lcm为最小公倍数

a‘=a/gcd;b‘=b/gcd;c‘=c/gcd; a‘目前与b‘互质  

令c‘‘=1=a‘*x+b‘*y;

利用extend_gcd求出一组特解。(x0,y0)

(x0*c‘.y0*c‘)为 a‘*x+b‘*y=c‘的一组特解

由方程解的思想求出其通解;x=x0*c‘+b‘*t;    y=y0*c‘-a‘*t;再用通解去求解题目

 

 

今天花了一晚上时间纠结了一个显而易见的问题。果然当局者迷。

我现在就想大笑一场。哈哈哈哈哈哈哈哈

UVA,10413

题目意思：t个case，n个野人，C,P,L分别代表初始洞穴，隔天移动洞穴数，存活天数。

问：最小的洞穴数，使得在n个野人在各自存活期不遇见。

数据：1*10^6 可以接受，所以此题以初值为野人中初始洞穴最大数，枚举就可以过了。

源代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstdio>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 int x,y,gcd,n;
 8 int C[20],P[20],L[20];
 9 
10 void extend_gcd(int a,int b)
11 {
12     if(b==0)
13     {
14         x=1;
15         y=0;
16         gcd=a;
17         return;
18     }
19     extend_gcd(b,a%b);
20     int tmp=x;
21     x=y;
22     y=tmp-a/b*y;
23     return;
24 }
25 
26 bool solve(int i,int j,int m)
27 {
28     int c=C[i]-C[j];
29     int b=m;
30     int a=P[j]-P[i];
31     extend_gcd(a,b);
32     if(c%gcd) return false;
33     x*=c/gcd;
34     if(gcd<0) gcd=-gcd;
35 //因为x=x+b/gcd*k,所以x中包含了若干个b/gcd的代数和差
36 //因此用x对b/gcd取模，注意负数得x的最小正值
37     x=(x%(b/gcd)+b/gcd)%(b/gcd);
38     if(x<=L[i] && x<=L[j])
39         return true;
40     return false;
41 }
42 bool test(int m)
43 {
44     for(int i=0;i<n-1;i++)
45         for(int j=i+1;j<n;j++)
46         {
47             if(solve(i,j,m)) return false;
48         }
49     return true;
50 }
51 
52 
53 int main()
54 {
55     int t;
56     scanf("%d",&t);
57     while(t--)
58     {
59         scanf("%d",&n);
60         int lb=0;
61         for(int i=0;i<n;i++)
62         {
63             scanf("%d %d %d",C+i,P+i,L+i);
64             lb=max(lb,C[i]);
65             C[i]--;
66         }
67         while(lb<=1000000)
68         {
69             if(test(lb)) break;
70             lb++;
71         }
72         printf("%d\n",lb);
73     }
74     return 0;
75 }
76 //提供测试数据
77 Sample Input
78 2
79 3
80 1 3 4
81 2 7 3
82 3 2 1
83 5
84 1 2 14
85 4 4 6
86 8 5 9
87 11 8 13
88 16 9 10
89 Sample Output
90 6
91 33