矩阵的乘法与利用矩阵求解线性方程组

Posted 2022-10-26 luffy5459

    矩阵的乘法定义：假定A=是一个m  s的矩阵，B=是一个s  n的矩阵，那么规定，矩阵A与矩阵B的乘积是一个m  n的矩阵C=，其中， (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

    单看公式，可能理解有困难，我们直接上示例：

    矩阵乘法示例1：

    矩阵乘法示例2：

    矩阵乘法示例3：

    矩阵乘法示例4： 

    以上矩阵能够做乘法是因为他们的行和列正好满足：

    A矩阵的列数=B矩阵的行数。

     有一些矩阵就不满足这些条件，他们就不能做乘法，比如：

    

    他们不满足上面的条件，2！=3。所以他们不能做乘法。

    上面的示例，我们通过python编程，使用numpy库实现：

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3]])
B = np.array([[4],[5],[6]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)
print()
A = np.array([[1],[2],[3]])
B = np.array([[4,5,6]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)
print()
A = np.array([[-2,4],[1,-2]])
B = np.array([[2,4],[-3,-6]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)
print()
A = np.array([[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]])
B = np.array([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)

     运行，打印结果：

=====

    下面介绍矩阵变换在解线性方程组中的应用。

    假定有如下方程组：

   我们可以转换如下的矩阵：

  

   其中，是系数矩阵，英文名为coefficient matrix。为常数项矩阵。

  有时候，我们会把系数矩阵和常数项矩阵合并。

  ，这个矩阵叫增广矩阵，英文名为augmented matrix 。

    这种矩阵，直接计算未知量，有一些困难，我们需要人为作一些操作，将它化简，有一种叫做高斯约尔当消元法，英文名为Gauss Jordan。

    这种消元法其实就是我们最早解方程用的把方程进行系数相乘，相加，相减的办法。

    可以考虑先消除x,这里先用第一行分别 乘以 4，7然后与第二行，第三行相减。

    这个表达式里面可以使用第二行乘以 2 与 第三行作减法，消除y。

 

    其实到这里，z已经解出来了，我们继续把z带入第二行，求出y=1,最后带入第一行，x=-2。

    上面的过程，貌似跟矩阵没什么关系，都是方程组基本变换。

    这个方程，用python语言结合numpy,scipy库可以计算出结果。

import numpy as np
from scipy.linalg import solve

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]])
B = np.array([3,3,4])
C = solve(A,B)
print(C)

    运行结果截图：

 

    方程组也有无数解、无解的情况，无数解其实就是方程组最后化简，两条直线合并成了一条直线。无解就是两条直线不相交。关于无解其实就是最后化简会出现0=X 的情况，这里X是非0的任意值，这种情况是不成立的，比如0=1，所以无解。