关于数论polya计数法

Posted 2020-10-08 AKCqhzdy

可以预见数论推公式是有多么蛋疼。

让我简明扼要的讲讲吧（多都说不出来，毕竟才做了两道题）其实呢，这个算法应该归入群论，有个有用的东西：置换群，它表示一个集合包括很多的置换。
先讲讲置换吧:↓（这是个置换）
1 2 3 4
3 1 2 4
怎么个置换法呢？这个就代表，第1个状态置换后变成第3个状态，第2个状态置换后变成第1个状态，第3个状态置换后变成第2个状态，第4个状态置换后变成第4个状态。
然后就是循环节：
1 2 3 4 5
3 5 1 4 2
它等于：(13)(25)(4)
那循环节长度就等于3

嘿嘿，简单吧。

然后就是一个神奇的定理——polya定理，设这个群｛g1,g2,……gG｝G为置换群的置换数，c(g)表示这个置换的循环节长度，用m种颜色涂点，那不同的涂色方案为：m^c(g1)+m^c(g2)+m^c(gG)的和除以G（这个我实在是证不出来，死记吧），然而c(g)怎么理解？其实这个来源于Burnside引理，我们将其优化变成polya定理，那这个是什么？

burnside引理：用D(i)表示在置换中不变的个数，怎么理解？例如第一个置换，4就是不变的，那这个置换的D就等于1。那不同的涂色方案就等于Σ_^Gi=1 *D(i)。这个循环节的想法，就是来自于这里的D，同时，由于polya有很大局限性（因为直接用polya题目就太简单啦T>*<T）所以说有很多题都是要用引理+优化。

例题：poj2409

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(a==0)return b;
    return gcd(b%a,a);
}
LL power(LL A,LL k)
{
    LL ans=1;
    while(k!=0)
    {
        if(k%2==1)ans*=A;
        A*=A;k/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL n,m;
    while(scanf("%lld%lld",&m,&n)!=EOF)
    {
        if(n==0&&m==0)break;
        LL ans=0;
        
        for(int i=1;i<=n;i++)ans+=power(m,gcd(i,n)); 
        //旋转置换，枚举旋转的豆子个数，置换数为n，循环节长度为LCM(i,n)/i，循环节数为n/(LCM(i,n)/i)=gcd(i,n)
        //翻转置换 
        if(n%2==1)//假如是奇数，就只有一种情况，n个豆子有n种置换，循环节为(n+1)/2
        {
            ans+=n*power(m,(n+1)/2);
        }
        else//假如是偶数，两种情况，对称轴过豆子或过间隔
        { 
            ans+=n/2*power(m,n/2);//对称轴过间隔，所有豆子翻转，有n/2种置换，循环节为n/2
            ans+=n/2*power(m,(n+2)/2);//对称轴过豆子，两个豆子不变，其他翻转，有n/2种置换，循环节为(n+2)/2
        }
        printf("%lld\n",ans/(n*2));//G=n*2
    }
    return 0;
}