积累Burnside引理和Polya定理

Posted 2020-11-22 kkkek

 

关于题型：

poyla定理主要是解决染色问题，或者说是关于同构计数问题。

 

模板题：luoguP4980

题目描述：

给定一个n个点，n条边的环，有n种颜色，给每个定点染色，问有多少种本质不同的染色方案，答案对1e9+7取模。

注意本题的本质不同，定义为：只需要不能通过旋转与别的染色方案相同。

数据范围：

n<=1e9;t<=1e3;

 

相关博客：

https://blog.csdn.net/ojshilu/article/details/15378645

https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9114155.html

https://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/72639208

相关题型：

http://www.cppblog.com/sdfond/archive/2010/02/06/107403.aspx

 

总结：

用k种颜色对集合进行n染色，设  原集合序列通过 旋转/反射/或某种变换(依题意) 能得到的 新的集合序列  两者为相同，  则，不同的染色方案是多少？

ans=1/g(  a₁k^t₁+a₂₊₁k^t₂+...++a_xk^t_x)  其中g=(a₁+a₂+...+a_x)

t表示一个置换群的大小为t，a表示置换群大小为t的个数有a，g表示所有的置换群个数为g。

 

特殊有：

对于一个环形轴线序列（luoguP4980），t_i=gcd(n,i)，n为序列长度。