最大子矩阵，最大连续子数组进阶，动态规划初级，poj1050

Posted 2020-10-07 Stphen糖

题目描述：现给出一个N*N矩阵，要求求出拥有最大和的子矩阵的和。

例如：

这样的一个矩阵，最大子矩阵的和为15；

此题可以让人联想到求最大连续子数组，求最大子数组在上一篇文章中http://www.cnblogs.com/tz346125264/p/7560708.html。

分析：最大子矩阵可以看为求最大连续子数组拓展到二维数组上，因为矩阵的性质同样在横向竖向上需要连续，那么可以想办法将这个二维数组简化为求连续子数组。

思考：

1.要求最大子矩阵，必须保证每个矩阵都被浏览到，为了保证运行时间尽可能不要重复浏览同一矩阵，故需制定规则，规则定为用i表示起始行，j表示终止行，j>=i，再使用k对列进行遍历，即可覆盖所有矩阵。

2.进行化简成求连续子数组操作，以上为例，设i=2,j=4那么这个矩阵是这样，那么化为连续子数组即为4（9-4-1），11（2+1+8），-10（-6-4+0），1（2+1-2）

求这个连续数组的最大连续子数组和便是这个矩阵（以i=2作为起始行，j=4作为终止行）的最大子矩阵，如此，整个矩阵的最大子矩阵便是这些最大子矩阵中的最大值。

上代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    int a[101][101];
    int temp[101];
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
            /*
            为什么要进行相加？
            在化简为求连续最大子数组时，需要将i到j行的数进行相加sum(i,j)，而这个sum{i,j}可有sum{0,j}-sum{0,i}得到
            为此提前做出相加方便之后化简 
            */
            a[i][j]+=a[i-1][j];
        }
    }
    int max = -10000;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            memset(temp,0,sizeof(temp));
            //求最大连续子数组操作 
            for(int k=1;k<=n;k++){
                if(temp[k-1]>=0){
                    temp[k]=temp[k-1]+a[j][k]-a[i][k];
                }else{
                    temp[k]=a[j][k]-a[i][k];
                }
                if(temp[k]>max){
                    max = temp[k];
                }
            }
        }
    }
    cout<<max<<endl;
    return 0;
}