hihoCoder#1196 : 高斯消元·二（开关灯问题）

Posted 2020-10-07 蒟蒻zht的博客

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高斯消元解异或方程组

 

小Ho在游戏板上忙碌了30分钟，任然没有办法完成，于是他只好求助于小Hi。

小Ho：小Hi，这次又该怎么办呢？

小Hi：让我们来分析一下吧。

首先对于每一个格子的状态，可能会对它造成影响的是其自身和周围4个格子，这五个格子被按下的总次数也就等于该格子所改变的总次数。

对于任意一个格子，如果这个格子改变了偶数次状态，则等价于没有发生改变。

我们可以将1看作格子亮着，0看作格子暗着，每改变1次就加1，最后格子的状态等于其总数值 MOD 2。

则其运算结果刚好满足异或运算，即每改变一次等于状态值 xor 1。

同样的对于一个格子和它周围的4个格子来说，若格子被按下偶数次，它自身和周围4个格子的状态也等于没有发生改变。所以我们可以知道：任意一个格子至多被按下一次。

假设有数组x[1..30]，分别表示这30个格子是否按下1次，若按下则x[i]=1，否则x[i]=0。

则对于1个格子，他最后的状态为：

当前状态 = 初始状态 xor (a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30])

其中a[i]表示格子i是否会对当前格子产生影响，若能够则a[i] = 1，否则a[i] = 0

对方程进行变换有：

(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 当前状态 xor 初始状态

因为我们的目标是要让所有等格子都为亮的状态，故我们需要让 当前状态 = 1，则：

(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 1 xor 初始状态

不妨设y = 1 xor 初始状态：

(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = y

对于所有的格子，我们可以连立出方程组：

(a[ 1][1] * x[1]) xor (a[ 1][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 1][30] * x[30]) = y[ 1]
(a[ 2][1] * x[1]) xor (a[ 2][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 2][30] * x[30]) = y[ 2]
                                            ...
(a[30][1] * x[1]) xor (a[30][2] * x[2]) xor ... xor (a[30][30] * x[30]) = y[30]
		

到此，我们的目标就是求出一个x[1..30]，使得上面的方程组成立。

小Ho：这个看上去和高斯消元很像啊。

小Hi：没错，这个方程组叫异或方程组，它可以用和高斯消元同样的方法来解决。

其解答过程几乎和高斯消元无异，判定无解和多解的方式也相同。唯一需要注意的是消元过程不再是高斯消元的加减，而是通过xor运算来进行消元。比如消除第j行第i列的1：

a[j][k] = a[j][k] xor a[i][k], y[j] = y[j] xor y[i]

其原理是：

    (a[j][1] * x[1]) xor (a[j][2] * x[2]) xor ... xor (a[j][30] * x[30]) xor (a[i][1] * x[1]) xor (a[i][2] * x[2]) xor ... xor (a[ i][30] * x[30]) = y[j] xor y[i]
<=> ((a[j][1] * x[1]) xor (a[i][1] * x[1])) xor (((a[j][2] * x[2]) xor (a[i][2] * x[2]))) xor ... xor ((a[j][30] * x[30]) xor (a[i][30] * x[30])) = y[j] xor y[i]<=> ((a[j][1] xor a[i][1]) * x[1]) xor ((a[j][2] xor a[i][2]) * x[2]) xor ... ((a[j][30] xor a[i][30]) * x[30]) = y[j] xor y[i]

而且由于给定游戏板是固定的，我们可以知道a[i][j]矩阵一定是固定的，而且通过计算可以知道我们消元得到的上三角矩阵也是固定的，并且在这一次的问题中该上三角矩阵是满秩的，所以其一定存在唯一解。

所以我们一定有办法完成这个游戏。

小Ho：我明白了，我这就去写程序，这奖品我拿定了！

 

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define N 35
#define D(x, y) (((x) - 1) * 6 + (y))

using namespace std;

int ans;
int a[N][N];
char s[N][N];

inline void Guass()
{
	int i, j, k, t;
	for(j = 1; j <= 30; j++)
	{
		t = j;
		for(i = j; i <= 30; i++)
			if(a[i][j] > a[t][j])
				t = i;
		if(t != j) swap(a[t], a[j]);
		for(i = j + 1; i <= 30; i++)
			if(a[i][j])
				for(k = j; k <= 31; k++)
					a[i][k] ^= a[j][k];
	}
	for(i = 30; i >= 1; i--)
	{
		for(j = i + 1; j <= 30; j++)
			a[i][31] ^= (a[i][j] * a[j][31]);
		if(a[i][31]) ans++;
	}
}

int main()
{
	int i, j;
	for(i = 1; i <= 5; i++)
	{
		scanf("%s", s[i] + 1);
		for(j = 1; j <= 6; j++)
		{
			a[D(i, j)][D(i, j)] = 1;
			a[D(i, j)][31] = 1 ^ (s[i][j] - ‘0‘);
			if(1 < i && i <= 5) a[D(i - 1, j)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i - 1, j)] = 1;
			if(1 <= i && i < 5) a[D(i + 1, j)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i + 1, j)] = 1;
			if(1 < j && j <= 6) a[D(i, j - 1)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i, j - 1)] = 1;
			if(1 <= j && j < 6) a[D(i, j + 1)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i, j + 1)] = 1;
		}
	}
	Guass();
	printf("%d\n", ans);
	for(i = 1; i <= 5; i++)
		for(j = 1; j <= 6; j++)
			if(a[D(i, j)][31])
				printf("%d %d\n", i, j);
	return 0;
}