二分法

Posted 2020-10-07 detrol

最近做了几道关于二分法的题目，觉得比较典型，因此拿出来说一说。

首先，先把题目分享一下。

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题目描述：上题中讲了一个故事，故事大意不用过多关注，有用部分为：某地主有一个大粮仓，这个粮仓容量为 n 个单位，但这个粮仓有个小口，每天会有一部分麻雀过来偷吃粮食，同时地主每天也会从别的地方运来粮食填补。开始的时候粮仓是满的，麻雀偷吃和运量的具体信息如下：

1??从第一天开始，每天会有麻雀过来吃粮食，第 i 天会来 i 只麻雀，每只麻雀吃一个单位的粮食。

2??从第二天开始，地主每天会从别的地方运来 m 个单位的粮食加入到粮仓中，由于粮仓的总容量是 n ，因此运来的粮食填满粮仓后多余的粮食扔掉。

题目要求，求出第几天粮仓第一次空了。

 

针对这个过程举例如下

上文意思是：假设粮仓容量 n 为 5 ，每天运粮数量为 2 ，那么

开始之前，粮仓里有5 个单位的粮食，粮仓是满的。

第一天 ，来了一只麻雀，吃了 1 单位的粮食，因此在第一天结束的时候，粮仓里剩余4单位的粮食。

第二天，地主先运来 2 单位的粮食来填补粮仓，由于 n ＝ 5 ，第一天剩余 4 ，现在运来  2 单位，所以 添进粮仓 1 单位后，有1 单位浪费掉。此时粮仓里有 5 单位的粮食（粮仓是满的）。填充完毕后，来了 2 只麻雀，吃掉 2 个单位的粮食，此时粮仓里剩余 3 个单位的粮食。

第三天，地主又运来 2 单位的粮食，将只有 3 个单位粮食的粮仓再次填满，这次没有浪费，填充完毕，飞来 3 只麻雀，吃掉 3 单位的粮食，此时粮仓里剩余 2  个单位的粮食。

第四天，地主运来 2 个单位的粮食，加入 原来剩余 2 单位粮食后，这时，粮仓里只有 4 单位的粮食，没有填满。填充完毕，飞来 4 只麻雀，吃掉 4 个单位的粮食，这时候粮仓空了。

因此，答案即为 4 。

 

题目的输入输出格式以及测试数据如下

请务必认真仔细的记住题目中所给的数据范围。

 

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根据题目的介绍，可以发现，这道题首先可以分成两种情况，

1?? n < m 时，第一天 ，1 只麻雀吃过后剩 n － 1 粮食，第二天开始，运来 m 单位的粮食，将粮仓填满为 n ，第二天结束， 2 只麻雀吃过后剩 n － 2 粮食，在第三天开始时，运来的m粮食又将 粮仓填满为 n ，。 。 。直到 第 n － 2 的时候，n － 2 只麻雀吃过后，剩余 2 粮食，第 n － 1 天开始时，运来 m 单位粮食（ m > n ），因此又将粮仓填满为 n ，飞来 n － 1 只麻雀，吃过后，粮仓 剩余 1 粮食，第 n 天开始，地主运来的 m 单位粮食又把粮仓填满了，这时飞来 n 只麻雀，正好吃完了 n 单位粮食，因此粮仓就空了 ，（题目要求一旦粮仓空了，就停止计算，不给地主接下来一天运来粮食的机会）由此可以看出，在这种情况中，粮仓吃空需要的天数就是粮仓的总容量 n 。

2?? n > m 时，在前 m 天，麻雀吃掉的粮食都能在第二天的时候补上，但到第 m ＋ 1 天的时候，麻雀吃掉 m ＋ 1粮食，在第 m ＋ 2 的时候运来的 m 粮食 无法将 粮仓填满。也就是说，从第 m ＋ 1 天开始，第 i 天粮仓的存粮数目在前一天的基础上减少 i 个单位，假设 在 第 m ＋ k 天将粮食吃完了，那么从 第 m ＋ 1 天开始计算，在 第 m ＋k － 1天结束的时候，就满足 

(1+m) ＋ (2+m) ＋ (3+m) ＋。。。＋（k－1+m）+ < （n－m） +(k-1)＊m,

在 第m ＋ k 天结束的时候，就满足

（1+m）＋（2+ m）＋。。。＋（k＋m）>＝（n－m）＋k＊m。

 

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现在，可以将这个过程进行进一步化简：

在m天之后，假设加完粮食后粮仓现在有粮食 x 个单位，天数是第 m ＋ i 天，现在把整个粮仓分为两部分，一部分有粮食 m单位，另一部分有粮食 x－m 个单位，把飞来的 麻雀也分为两部分，一部分 有麻雀 m 只，另一部分 有麻雀 i 只，要求 m 只麻雀吃 m 个粮食的那部分，i 只麻雀去吃 x－m 的那部分粮食，那么m只麻雀 每天总能 和运来的 m 单位粮食相抵消，剩余的 x－m 那部分粮食会不断减少，直至吃光。也就意味着在 m＋1到 m＋i 这 i 天，每天 除去 m只剩余的麻雀 加起来吃掉的就是第 m 天 结束的时候 剩余的那部分粮食。m天结束的时候剩余的粮食为 n－m ，

假设在第 m＋k 天时候来的麻雀吃光了剩余的粮食。因此除去每天抵消的那部分，剩余的麻雀吃到粮食的总数为 n－m。有等式如下

1+2+3＋。。。＋k >= n - m ,

（这里用  >=  的原因是，在第 m ＋k 天的时候，不一定所有来的麻雀都刚好有粮食吃，因此麻雀数有可能比剩余粮食数多）

并且，在 k－1天的时候，来的麻雀并没有将剩余的粮食吃完。满足

1+2+3 。。。＋（k－1）< n-m .

 

之所以要将方法进一步精简的原因是，题目给的测试数据 是 long long ，第一种方法多加的 k 个m 增大了数据，是有可能导致爆掉 long long 的一个原因。反观第二种思路，数据减小了不少，会减小这个风险，但是本质上来讲是没有区别的，因为他们是属于同一量级的数据

第一种思路 不等式左边为

（1+m）＋（2+ m）＋。。。＋（k＋m）＝k＊m＋（1+k）＊k／2＝k＊m＋k／2+k＊k／2（包含k的二次方项）

第二种思路不等式左边为

1+2＋3+。。。＋k ＝（1+k）＊k／2=k／2+k＊k／2（同样包含k的二次方项）

由于 天数 m 和 n 都是 long long 类型的，那么 k 也必然是 long long 类型的，如果数据给的是 long long 的上限，那么，二次方必然会超出上界。而且，做为一组优秀的测试数据，应该包含这样的边界数据来检测程序的稳定性。

采用上面的判断条件来找 k ，只要数据足够大，闭着眼睛也能将 long long 爆掉，那是不是就意味着 这个方法行不通呢？并非如此，上面的思路是非常精简的一个思路了。那就在 k 的数据范围上做文章，k 的最大范围肯定是 大于1 而小于 n＋m 的，假设 m 和 n 的数据为 1e18 量级，那么加和之后 数据为1e19 量级，由不等式 （1+k）＊k／2=k／2+k＊k／2＝1+2+3＋。。。＋k >= n - m 可知，k＊k 的数据为1e19 的量级的，则 k的量级最大界限变为 1e10。这样就稳了。

 

既然选对了方向，接下来就是 找这个 k 值了，最简单的想法是加一层循环从第一天到第 n＋m 天逐个判断是否满足条件，直到找到答案。o（n＊n）的时间复杂度，在1e18这样量级的数据，超时是肯定的，因此找 k 的方法也需要改进。

 

由上面的描述的可以发现在 m ＋k 天之前，麻雀没有将 剩余粮食吃完，而在 m＋k 天之后，肯定能将粮食吃完，并且，越往后，吃不到粮食的麻雀越多。得出的规律为：越靠近 m＋k 这一天，剩余的粮食或者吃不到粮食的麻雀会越少。当然，题目要求只考虑 m ＋k 天及之前的情况，不考虑 m＋k 天之后，因此只需要考虑的特征就是 越靠近 m ＋k 这一天粮食剩余数越少这一特征。

其次麻雀每天增长的数量有线性的关系，因此 如果 第 i 天麻雀没吃完，那么可以肯定 i 天之前，麻雀一定没有将粮食吃完，那就不用判断 i天之前的情况了。同样，如果 第 i 天 麻雀已经将粮食吃完了，那么在 i 天之后，麻雀一定能将粮食吃完，也不用考虑 i 天之后的情况。现在就需要每次找一个 测试的值 i ，将区间一分为二，在满足条件的那一半寻找。那么这个测试值取多少合适呢，经实践发现，每次将区间等分查找的效率最高，

即 i 取 （左边界＋右边界）／2。这就是著名的 二分思想。时间复杂度是o（log n）的。

 

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具体代码实现有兴趣的请打开网页 http://paste.ubuntu.com/24268046/。