离散微积分

Posted 2020-10-07

　　对 OIer 来说, 离散微积分主要用于计算这样一个问题:

　　　　? $$sum = \sum_{a \le i < b} f_i$$ .

 

　　先回顾一些微积分的基础知识.

　　微积分有微分算子 $D$ , 我们研究了常见函数的导数与导数的运算法则, 以及在最值问题和解方程上的应用.

　　很多运算都是成对出现的, 我们定义了微分, 就存在着微分的逆运算: 不定积分(原函数系). 我们直接继续推广微分的结论, 得到了常见函数的不定积分以及不定积分的运算法则.

　　最后从黎曼和开始, 引出了定积分的定义, 并且给出了微积分第一基本定理, 微积分第二基本定理, 联系了定积分, 不定积分与微积分.

 

　　我们尝试类比微积分, 构造一种运算以得到解法, 我们称其为离散微积分.

　　对应无限微积分的微分算子 $D$ , 不定积分 $\int$ , 定积分 $\int_a^b$ , 我们定义了差分算子 $\Delta$ , 不定和式 $\Sigma$ , 定和式 $\Sigma_a^b$ .

　　$\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$ .

 

　　微积分第二基本定理被类比为一个简化物.

　　构造 $g$ , 使得 $\Delta g(x) = f(x)$ .

　　$$\sum_{a \le i < b} f_i = \Sigma_a^b g(x) \delta x = f(x)|_a^b = \sum_{i = a}^b (g_{i+1} - g_i) = f_b - f_a$$ .

 

　　我们尝试找到 $D(x^n) = n x ^ {n - 1}$ 的类似物.

　　定义了下降幂 $x^\underline{n} = x (x-1) (x-2) ... (x-n+1)$ .

　　? 那么 $\Delta(x^\underline{n}) = nx^\underline{n-1}$ .

　　并尝试将其扩充到 $n < 0$ 的情况, 例如 $x^\underline{-2} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ .

 

　　当 $n\ne -1$ 时, 对应有 $\Sigma x^{\underline{n}} = \frac{x^\underline{n+1}}{n+1} + C$ .

　　当 $n = -1$ 时, $D(\ln x) = \frac{1}{x}$ , 我们发现了 $\ln x$ 的类似物, $\Delta H(x) = x^\underline{-1}$ .

　　综上, 有 $$\Sigma_a^bx^\underline{n}\delta x = \left\{\begin{aligned}&\frac{x^\underline{n+1}}{n+1}|_a^b&n\ne -1\\ &H_x|_a^b&n = -1\end{aligned}\right.$$

　　

　　对于一般幂来说, 需要通过 Stirling数 或者 观察法 转化成下降幂后, 再进行求不定和.

 

　　类似的, 我们尝试发掘 $c^x$ 这个常见函数.

　　$\Delta c^x = c^{x+1} - c^x = (c-1)c^x$ .

　　当 $c\ne 1$ 时, $\sum c^x = \frac{c^x}{c-1}$ .

　　这也可以解释几何级数: $$\sum_{k = 0}^{n} c^k = \Sigma_0^{n+1} c^k\delta k = \frac{c^k}{c-1}|_0^{n+1} = {c^{n+1} - 1 \over c-1}$$ .

 

　　尝试类比积分的分布求和法.

　　定义 $Ev(x) = v(x+1)$ .

　　推导得 $\Delta(uv) = u\Delta v + Ev\Delta u$ .

　　$u\Delta v = \Delta(uv) - Ev\Delta u$ .

　　对两边取不定和得 $\Sigma u\Delta v = uv - \Sigma Ev\Delta u$ .

　　如果左边计算麻烦, 那么可以考虑转化为右边.

 

　　? 举个例子, 计算 $ans = \sum_{k = 0} ^ {n-1} k2 ^ k$ .

　　? 设 $u(x) = x, \Delta v(x) = 2 ^ x$ .

　　? 所以 $v(x) = 2 ^ x + C_1, Ev(x) = 2 ^ {x+1} + C_1, \Delta u(x) = 1$ .

　　? 所以
　　$$
　　\begin{aligned} ans & = \sum_{k = 0} ^ {n-1} k 2 ^ k \\ & = (u(x) \Delta v(x)) | _0 ^ n \\ & = [u(x)v(x) - Ev(x) \Delta u(x)] | _0 ^ n \\ & = n 2 ^ n - 2 ^ {n+1} - 2 \end{aligned}
　　$$