[离散时间信号处理学习笔记] 8. z逆变换

Posted 2020-10-21 TaigaComplex求职中

z逆变换的计算为下面的复数闭合曲线积分：

$x[n] = \\displaystyle{\\frac{1}{2\\pi j}}\\oint_{C}X(z)z^{n-1}dz$

式中$C$表示的是收敛域内的一条闭合曲线。该积分表达式可以利用复数变量理论下的柯西积分定理推导得到。不过本门课程用不上这条式子，因为在离散LTI系统分析中所遇到的典型序列和z变换，有如下更简单的z逆变换求解办法。

 

观察法（查表）

下面是一个常见序列的z变换表格，通过查表可以由z变换所得的函数反过来求得原序列

Sequence	Transform	Region of convergence
1. $\\delta[n]$ $1$ for all $z$ 2. $u[n]$ $\\frac{1}{1-z^{-1}}$ $|z|>1$ 3. $-u[-n-1]$ $\\frac{1}{1-z^{-1}}$ $|z|<1$ 4. $\\delta[n-m]$ $z^{-m}$ $z\\neq\\left\\{\\begin{matrix}0 &,& m>0 \\\\ \\infty &,&m<0\\end{matrix}\\right.$ 5. $a^nu[n]$ $\\frac{1}{1-az^{-1}}$ $|z|>a$ 6. $-a^nu[-n-1]$ $\\frac{1}{1-az^{-1}}$ $|z|<a$ 7. $na^nu[n]$ $\\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$ $|z|>a$ 8. $-na^nu[-n-1]$ $\\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$ $|z|<a$ 9. $cos(\\omega_0n)u[n]$ $\\frac{1-cos(\\omega_0)z^{-1}}{1-2cos(\\omega_0)z^{-1}+z^{-2}}$ $|z|>1$ 10. $sin(\\omega_0n)u[n]$ $\\frac{sin(\\omega_0)z^{-1}}{1-2cos(\\omega_0)z^{-1}+z^{-2}}$ $|z|>1$ 11. $r^ncos(\\omega_0n)u[n]$ $\\frac{1-rcos(\\omega_0)z^{-1}}{1-2rcos(\\omega_0)z^{-1}+r^2z^{-2}}$ $|z|>r$ 12. $r^nsin(\\omega_0n)u[n]$ $\\frac{rsin(\\omega_0)z^{-1}}{1-2rcos(\\omega_0)z^{-1}+r^2z^{-2}}$ $|z|>r$ 13. $\\left\\{\\begin{matrix}a^n ,& 0\\leqslant n\\leqslant N-1\\\\0 ,& else\\end{matrix}\\right .$ $\\frac{1-a^Nz^{-N}}{1-az^{-1}}$ $|z|>0$

 

 

部分分式展开法

不过也经常出现输入序列为组合序列的情况，这种序列的z变换就是它的组成序列的z变换的线性组合。

如果某个输入序列是这些典型序列的线性组合，那么这个输入序列的z变换就能表示成各个典型序列的z变换之和

$x_1[n]+x_2[n]+x_3[n]+\\cdot\\cdot\\cdot\\stackrel{\\mathcal{Z}}{\\longleftrightarrow}X_1(z)+X_2(z)+X_3(z)+\\cdot\\cdot\\cdot$

 

分式展开法

观察上面的表格可以发现大多数典型序列的z变换都是分数形式，因此这些z变换的组合可以假设为

$\\displaystyle{X(z) = \\frac{b_0}{a_0}\\frac{\\prod_{k=1}^{M}(1-c_kz^{-1})}{\\prod_{k=1}^{N}(1-d_kz^{-1})}}$

其中$c_k$是$X(z)$的非零值零点，$d_k$是$X(z)$的非零值极点。分母是各个典型序列的分母的乘积，把各个典型序列的z变换（分数）相加就能得到上面的式子。

 

$M<N$

若$M<N$，并且极点都是一阶（即没有相同的极点，即没有相同的$d_k$）的，那么$X(z)$就能表示为

$X(z) = \\displaystyle{\\sum_{k=1}^{N}\\frac{A_k}{1-d_kz^{-1}}}$

此时，等式两边乘以$(1-d_kz^{-1})$，并取$z$等于其中的某个极点$z=d_k$，可以消去等式右边除了$A_k$之外所有的项

$(1-d_kz^{-1})X(z)|_{z=d_k} = A_k$

按照这种计算方式可以得到所有的$A_k$，然后通过查表即可得到各个和式所对应的序列。

 

$M\\geqslant N$

若$M\\geqslant N$则可以用长除法，分子除以分母以使得分式的$M<N$，然后就可以按照上述方法继续求解

$X(z) = \\displaystyle{ \\sum_{r=0}^{M-N}B_rz^{-r} +\\sum_{k=1}^{N}\\frac{A_k}{1-d_kz^{-1}}}$

 

重复极点

如果$X(z)$有多重极点在$z=d_i$，阶数为$s$（在该极点上有$s$个重复极点）,而且$M\\geqslant N$，那么有

$X(z) = \\displaystyle{ \\sum_{r=0}^{M-N}B_rz^{-r} +\\sum_{k=1,k\\neq i}^{N}\\frac{A_k}{1-d_kz^{-1}}+\\sum_{m=1}^s\\frac{C_m}{(1-d_iz^{-1})^m}}$

其中$C_m$由如下式求得

$\\displaystyle{C_m = \\frac{1}{(s-m)!(-d_i)^{s-m}}}\\left\\{ \\frac{d^{s-m}}{d\\omega^{s-m}}[(1-d_i\\omega)^sX(\\omega^{-1})]\\right \\}_{\\omega=d_i^{-1}}$

 

例子

考虑有一序列$x[n]$，其z变换为

$X(z) = \\frac{1+2z^{-1}+z^{-2}}{1-\\frac{3}{2}z^{-1}+\\frac{1}{2}z^{-2}}=\\frac{(1+z^{-1})^2}{\\left(1-\\frac{1}{2}z^{-1} \\right )(1-z^{-1})}\\qquad |z|>1$

右下图为$X(z)$的零-极点图

• 根据收敛域可知序列$x[n]$为一个右边序列
• 观察$X(z)$可发现其两个极点都是一阶的
• 因为$X(z)$的分子分母都是二次的，即$M=N=2$

因此$X(z)$可表示为

$X(z) = B_0+\\frac{A_1}{1-\\frac{1}{2}z^{-1}}+\\frac{A_2}{1-z^{-1}}$

其中常数$B_0$能用长除法求得

$\\begin{align*}
& &2\\\\
&{\\frac{1}{2}z^{-2}-\\frac{3}{2}z^{-1}+1} &\\overline{\\left )z^{-2}+2z^{-1}+1\\right.}\\\\
& &\\underline{z^{-2}-3z^{-1}+2}\\\\
& &5z^{-1}-1
\\end{align*}$

余项为一次项，即$M<N$，因此$X(z)$可以写成

$X(z) = 2+\\frac{-1+5z^{-1}}{\\left(1-\\frac{1}{2}z^{-1} \\right )(1-z^{-1})}$

接下来求系数$A_1$以及$A_2$

$\\begin{align*}
A_1 &= \\left[\\left(2+\\frac{-1+5z^{-1}}{\\left(1-\\frac{1}{2}z^{-1} \\right )(1-z^{-1})} \\right )\\left(1-\\frac{1}{2}z^{-1} \\right ) \\right ]_{z=1/2} = -9\\\\
A_2 &= \\left[\\left(2+\\frac{-1+5z^{-1}}{\\left(1-\\frac{1}{2}z^{-1} \\right )(1-z^{-1})} \\right )\\left(1-z^{-1} \\right ) \\right ]_{z=1} = 8
\\end{align*}$

因此

$X(z) = 2-\\frac{9}{1-\\frac{1}{2}z^{-1}}+\\frac{8}{1-z^{-1}}$

查表可得

$x[n] = 2\\delta[n]-9\\left( \\frac{1}{2} \\right)^nu[n]+8u[n]$

 

 

幂级数展开法

如果$X(z)$由如下幂级数的形式给出时

$X(z) = \\cdot\\cdot\\cdot+x[-2]z^{2}+x[-1]z^{1}+x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}$

如果该多项式长度有限，我们就能得到该序列的所有的值。

如果该多项式无限长，我们可以观察该多项式是否能表示成如下形式

$X(z) = \\displaystyle{ \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}f(n)z^{-n} }$

如果能转换成这种形式，就可以得到序列$x[n] = f(n)$