BZOJ1001 [Beijing2006]狼抓兔子

Posted 2020-10-06

1. Description

现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼",话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的，

而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：

 

左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路 

1:(x,y)<==>(x+1,y) 

2:(x,y)<==>(x,y+1) 

3:(x,y)<==>(x+1,y+1) 

道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，

开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去，狼王开始伏击

这些兔子.当然为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，

才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔子一网打尽的前提下，参与的

狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦.

2. Input

第一行为N,M.表示网格的大小，N,M均小于等于1000.

接下来分三部分

第一部分共N行，每行M-1个数，表示横向道路的权值. 

第二部分共N-1行，每行M个数，表示纵向道路的权值. 

第三部分共N-1行，每行M-1个数，表示斜向道路的权值. 

输入文件保证不超过10M

3. Output

输出一个整数，表示参与伏击的狼的最小数量.

4. Sample Input

3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6

5. Sample Output

14

5. 思路

读了题后的第一反应是欢喜地打了个EK求最小割，然后就TLE了。

然后去读了一下题解，发现里面都提到了把题目转化为对偶图中的最短路。之前并不知道有这种操作，便去更加深入地了解了一下，发现真的很神奇！（可惜只适用于平面图）

改算法的思路大概是这样的：

将平面图上的每一个“面”转化为一个点，并在它们之间连边。显而易见地，每一条新连接的边都会和原图的一条边相交，与之相交的原图的边的容量便是该边的边权。最后将源点和汇点之间连一条边使得图的外部被分为两个平面，分别作为对偶图的起点和终点。此时很明显原图的最小割已经被转化为对偶图上的最短路了。最短路的距离可以通过各种算法实现，例如 Dijkestra。

下面的图也许可以帮助更好地理解：

另外推荐阅读周冬的《浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》，里面也有很详细的解释。

6. 代码

参看http://www.cnblogs.com/jimzeng/p/bzoj1001.html