数学笔记6——线性近似和二阶近似

Posted 2020-10-06 我是8位的

本文主要介绍了线性近似和二阶近似，在0基点的常用近似，近似的应用

线性近似

　　假设一般函数上存在点(x₀, f(x₀))，当x接近基点x₀时，可以使用函数在x₀点的切线作为函数的近似线。函数f(x)≈f(x₀)+f\'(x₀)(x- x₀)即称为函数f在x₀点的线性近似或切线近似。

f(x) ≈ f(x₀) + f\'(x₀)(x- x₀)

公式来源

　　导数的定义：

　　左右两边同时乘以x-x₀，并去掉极限符号：

 

　　在x≈x₀=0时

 

几何意义

　　线性近似求解的是近似值，其几何意义是在基点的切线近似于原函数的曲线。

　　以f(x)=lnx为例，根据公式，在x₀=1，lnx≈x-1，曲线和切线如下图所示：

　　在x₀=1点附近，曲线近似于直线，x越接近x₀，二者的近似度越高。在讨论近似时，只有指定基点才有意义。这很容易理解，x越远离x₀，曲线和直线的差距越大；同时，当基点不同时，切线的斜率也不同。

常用线性近似

　　x₀=0　　

　　以下是上述线性近似的几何意义：

sinx≈x

 

cosx≈1

e^x≈x+1

ln(x+1)≈x

(1+x)ⁿ≈1+nx,n=2

化繁为简

　　例1：ln(1.1) = ?

　　这需要计算器了，但实际工作中往往只需要寻找近似值。

　　如果设x=0.1，则 ln(1.1) = ln(1+x)，当x≈0时，ln(1+x) ≈ x，在此， 我们认为0.1接近于0，ln(1.1) = ln(1+x) ≈ x = 0.1

　　0.1是否接近于0，这是个及其主观的判断，要视具体问题而定。某些时候，0.1可能距离0很远，另一些时候，10也可能距离0很近。

 

　　例2：在x≈0时，

　　这不需要计算器，直接将代入x=0即可，结果为1。然而这种方法太过简陋，如果判断x=0.1≈0，就需要一个更精确的结果，不能直接将0代入。

 

　　还是使用线性近似的思路，首先需要把式子转换成我们认识的写法：

　　当x≈0时，根据公式f(x) ≈ f\'(0)(x) + f(0)，重点是计算f’(0)：

　　对这个长长的式子求导非常麻烦，涉及到多个求导法则，我们希望用简单的方式求解。

　　对于本例来说，非常幸运，我们已经知道x≈0时 e^x≈1+x，xⁿ≈1+nx，代入本例：

　　当x≈0时，高阶函数3x²/2≈0，随着x→0，3x²/2更快地趋近于0，所以上式可舍弃高阶函数：

　　通过这两个例子可以看出线性近似的作用——化繁为简。等号左侧的式子是繁，比如ln1.1和，通过线性近似将其转化为简单的式子，0.1和1-7x/2

　　在转换过程中当然会损失一些精度，但绝大多数时候我们都无需得到精确的解，例如在x=0.0001的时候，原式的计算量相当大，化简后将极大地简化计算，而付出的代价相当少，几乎可以忽略；某些时候甚至根本无法得到精确解，比如无理数的计算。取而代之，我们求得可接受的近似解，通过近似解化繁为简。

　　化繁为简的思路也贯穿于整个数学，后续我们将看到，在求解复杂问题时，采取的方法几乎都是不断寻找近似、舍弃。

　　在利用计算机寻找最优解时，几个常用的算法是爬山法、模拟退火算法、遗传算法，这些算法都是采用化繁为简的思路，舍弃全局最优解，寻找可以接受的较好解，故每次得到的结果都会稍有偏差。

二阶近似

公式

几何意义

　　二阶近似的几何意义是最接近原函数的抛物线，它比线性近似更为精确。

　　以f(x)=ln(1+x)为例，根据公式，在x₀=0，

　　曲线如下：

ln(1+x)≈x-x²/2

　　对比线性近似可以看出，二阶近似在基点附近更贴近原函数。

为什么会出现1/2

　　为什么会出现1/2呢？

　　二级近似的几何意义是最接近曲线的抛物线，如果原曲线本身就是抛物线，则二阶近似就是原曲线本身。

　　原函数f(x) = a + bx + cx²

　　f’(x) = b + 2cx

　　f’’(x) = 2c

　　当x = 0时，

　　f(0) = a,  f’(0) = b , f’’(0) = 2c

　　二阶近似 f(x) ≈ a + bx + 2cx²/2 = a + b + cx²

　　这就是出现1/2的原因，当然，仅当f(x) = a + bx + cx²时才能如此精确。

常用二阶近似

　　x₀=0

 　　以下是上述线性近似的几何意义：

 

sinx≈x

 

cosx≈1-x²/2

 

e^x≈1+x+x²/2

 

ln(1+x)≈x-x²/2

示例

在x≈0时，e^-3x(1+x)^-1/2=?

根据e^x≈1+x+x²/2 和  (1+x)ⁿ≈1+nx+n(n-1) x²/2

e^-3x(1+x)^-1/2≈(1-3x+(-3x/2)²)(1-x/2+(-1/2)(-3/2)x²/2) 

舍弃3阶和4阶函数，e^-3x(1+x)^-1/2≈1-7x/2+51x²/8

 总结

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