bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
Description
小D 被邀请到实验室,做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片,编号为 1 到 N。实验分若干轮进行,在每轮实验中,小 D会被要求观看某两张随机选取的图片, 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏,或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y(x、y为图片编号)之间的比较:如果上下文中 x 和 y 是图片编号,则 x<y 表示图片 x“质量优于”y,x>y 表示图片 x“质量差于”y,x=y表示图片 x和 y“质量相同”;也就是说,这种上下文中,“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思;在其他上下文中,这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则(在 x和y是图片编号的上下文中):(1)x < y等价于 y > x。(2)若 x < y 且y = z,则x < z。(3)若x < y且 x = z,则 z < y。(4)x=y等价于 y=x。(5)若x=y且 y=z,则x=z。 实验中,小 D 需要对一些图片对(x, y),给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后, 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下,定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串,也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1},其中 xi为图片编号,x1,x2,…,xN两两互不相同(即不存在重复编号),Ri为<或=,“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如: 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1,3 = 2”冲突(因为质量序列中 3<1 且1=2,从而3<2,这与主观判断中的 3=2 冲突;同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突) ,但与主观判断“2 = 1,3 < 2” 不冲突;因此给定主观判断“3>1,3=2”时,1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列,3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了,小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i,小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条(0 <= M <= N),其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi),判断要么是KXi < Xi ,要么是KXi = Xi,而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在,基于这些主观数据,我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定:如果质量序列中出现“x = y”,那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此: 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列, 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列,而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列,1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多, 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果
Input
第一行两个正整数N,M,分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数;
接下来M行,每行一条判断,每条判断形如”x < y”或者”x = y”。
Output
输出仅一行,包含一个正整数,表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。
Sample Input
5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5
Sample Output
5
HINT
不同的合法序列共5个,如下所示:
1 = 5 < 2 < 3 < 4
1 = 5 < 2 < 4 < 3
1 = 5 < 2 < 3 = 4
1 = 5 < 3 < 2 < 4
1 = 5 < 2 = 3 < 4
100%的数据满足N<=100。
Source
这个题如果是第一次碰到的话还是有难度的,以至于当年CJ没有一个人做出这个题;
首先我们把带等号的用并查集并起来,然后题目说明了对于每个点至多记住一个<他的点;
那么这样构成了森林的关系,然后我们加一个超级根,然后考虑如何树型DP;
首先状态就比较难设:dp[i][j],表示i的子树内有j个等价类的方案数;
我们考虑如何合并(x,i),(y,j)两棵树的答案,首先枚举合并后的等价类的个数k,(max(i,j),i+j);
现在问题的转化为有k个盒子,i个红球(有顺序),j个蓝球(有顺序);
要保证每个盒子内不能有相同颜色的球(可以有颜色不同的),且每个盒子必须有球,而且红球和蓝球内部的顺序不能变;
那么答案其实是:
首先把红球全部放进去,然后用蓝球去填还没有放球的k-i个盒子,在把剩余的蓝球放入有了红球的盒子i个盒子中;
然后我们就可以愉快地转移了,记得当前这个点先不要放进去,因为他不能和子树内的点构成等价类,所以要最后加进去;
自己注意实现细节即可;
//MADE BY QT666 #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int N=105; const int Mod=1e9+7; int fa[N],size[N]; int head[N],to[N],nxt[N],cnt,n,m; ll dp[N][N],g[N],c[N][N]; int q[N],tt,du[N]; void lnk(int x,int y){ du[y]++; to[++cnt]=y,nxt[cnt]=head[x],head[x]=cnt; } int find(int x){ if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]); return fa[x]; } void dfs(int x,int f){ for(int p=head[x];p;p=nxt[p]){ int y=to[p];if(y==f) continue; dfs(y,x); if(!size[x]){ for(int i=1;i<=size[y];i++) g[i]+=dp[y][i]; size[x]+=size[y]; for(int i=1;i<=size[y];i++) dp[x][i]=g[i]; } else{ for(int i=1;i<=size[x];i++){ for(int j=1;j<=size[y];j++){ for(int k=max(i,j);k<=i+j;k++){ (g[k]+=dp[x][i]*dp[y][j]%Mod*c[k][i]%Mod*c[i][j-(k-i)]%Mod)%=Mod; } } } size[x]+=size[y]; for(int i=1;i<=size[x];i++) dp[x][i]=g[i]; } } if(x){ size[x]++; for(int i=1;i<=size[x];i++) dp[x][i]=g[i-1]; if(size[x]==1) dp[x][1]=1; } else{ for(int i=1;i<=size[x];i++) dp[x][i]=g[i]; } memset(g,0,sizeof(g)); } struct data{ int x,y; }e[N]; int main(){ freopen("pairwise.in","r",stdin); freopen("pairwise.out","w",stdout); scanf("%d%d",&n,&m);int tot=0; for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++){ int x,y;char s[10]; scanf("%d",&x);scanf("%s",s+1);scanf("%d",&y); if(s[1]==‘<‘) e[++tot]=(data){x,y}; if(s[1]==‘=‘) { int u=find(x),v=find(y); if(u!=v) fa[u]=v; } } for(int i=1;i<=tot;i++){ if(find(e[i].x)!=find(e[i].y)) lnk(find(e[i].x),find(e[i].y)); else {puts("0");return 0;} } for(int i=1;i<=n;i++) if(find(i)==i) q[++tt]=i; for(int i=1;i<=tt;i++) if(du[q[i]]==0) lnk(0,q[i]); for(int i=0;i<=n;++i) c[i][0]=1; for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=i;++j){ c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%Mod; } dfs(0,0); ll ans=0;for(int i=1;i<=size[0];i++) (ans+=dp[0][i])%=Mod; printf("%lld\n",ans); return 0; }
以上是关于bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章