bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Description

D 被邀请到实验室,做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片,编号为 1 到 N。实验分若干轮进行,在每轮实验中,小 D会被要求观看某两张随机选取的图片, 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏,或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y(x、y为图片编号)之间的比较:如果上下文中 x 和 y 是图片编号,则 x<y 表示图片 x“质量优于”y,x>y 表示图片 x“质量差于”y,x=y表示图片 x和 y“质量相同”;也就是说,这种上下文中,“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思;在其他上下文中,这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则(在 x和y是图片编号的上下文中):(1)x < y等价于 y > x。(2)若 x < y 且y = z,则x < z。(3)若x < y且 x = z,则 z < y。(4)x=y等价于 y=x。(5)若x=y且 y=z,则x=z。 实验中,小 D 需要对一些图片对(x, y),给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后, 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下,定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串,也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1},其中 xi为图片编号,x1,x2,…,xN两两互不相同(即不存在重复编号),Ri为<或=,“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如: 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1,3 = 2冲突(因为质量序列中 3<1 且1=2,从而3<2,这与主观判断中的 3=2 冲突;同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突) ,但与主观判断“2 = 1,3 < 2  不冲突;因此给定主观判断“3>1,3=2时,1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列,3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了,小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i,小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条(0 <= M <= N),其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi),判断要么是KXi   < Xi  ,要么是KXi = Xi,而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在,基于这些主观数据,我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定:如果质量序列中出现“x = y”,那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此: 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列, 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列,而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列,1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多, 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果
 

Input

第一行两个正整数N,M,分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数;
接下来M行,每行一条判断,每条判断形如”x < y”或者”x = y”。 

Output

 输出仅一行,包含一个正整数,表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT 

 不同的合法序列共5个,如下所示: 

1 = 5 < 2 < 3 < 4 

1 = 5 < 2 < 4 < 3 

1 = 5 < 2 < 3 = 4 

1 = 5 < 3 < 2 < 4 

1 = 5 < 2 = 3 < 4 

100%的数据满足N<=100。  

Source

 

这个题如果是第一次碰到的话还是有难度的,以至于当年CJ没有一个人做出这个题;

首先我们把带等号的用并查集并起来,然后题目说明了对于每个点至多记住一个<他的点;

那么这样构成了森林的关系,然后我们加一个超级根,然后考虑如何树型DP;

首先状态就比较难设:dp[i][j],表示i的子树内有j个等价类的方案数;

我们考虑如何合并(x,i),(y,j)两棵树的答案,首先枚举合并后的等价类的个数k,(max(i,j),i+j);

现在问题的转化为有k个盒子,i个红球(有顺序),j个蓝球(有顺序);

要保证每个盒子内不能有相同颜色的球(可以有颜色不同的),且每个盒子必须有球,而且红球和蓝球内部的顺序不能变;

那么答案其实是:

技术分享

首先把红球全部放进去,然后用蓝球去填还没有放球的k-i个盒子,在把剩余的蓝球放入有了红球的盒子i个盒子中;

然后我们就可以愉快地转移了,记得当前这个点先不要放进去,因为他不能和子树内的点构成等价类,所以要最后加进去;

自己注意实现细节即可;

//MADE BY QT666
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;
const int Mod=1e9+7;
int fa[N],size[N];
int head[N],to[N],nxt[N],cnt,n,m;
ll dp[N][N],g[N],c[N][N];
int q[N],tt,du[N];
void lnk(int x,int y){
    du[y]++;
    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=head[x],head[x]=cnt;
}
int find(int x){
    if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void dfs(int x,int f){
    for(int p=head[x];p;p=nxt[p]){
	int y=to[p];if(y==f) continue;
	dfs(y,x);
	if(!size[x]){
	    for(int i=1;i<=size[y];i++) g[i]+=dp[y][i];
	    size[x]+=size[y];
	    for(int i=1;i<=size[y];i++) dp[x][i]=g[i];
	}
	else{
	    for(int i=1;i<=size[x];i++){
		for(int j=1;j<=size[y];j++){
		    for(int k=max(i,j);k<=i+j;k++){
			(g[k]+=dp[x][i]*dp[y][j]%Mod*c[k][i]%Mod*c[i][j-(k-i)]%Mod)%=Mod;
		    }
		}
	    }
	    size[x]+=size[y];
	    for(int i=1;i<=size[x];i++) dp[x][i]=g[i];
	}
    }
    if(x){
	size[x]++;
	for(int i=1;i<=size[x];i++) dp[x][i]=g[i-1];
	if(size[x]==1) dp[x][1]=1;
    }
    else{
	for(int i=1;i<=size[x];i++) dp[x][i]=g[i];
    }
    memset(g,0,sizeof(g));
}
struct data{
    int x,y;
}e[N];
int main(){
    freopen("pairwise.in","r",stdin);
    freopen("pairwise.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
	int x,y;char s[10];
	scanf("%d",&x);scanf("%s",s+1);scanf("%d",&y);
	if(s[1]==‘<‘) e[++tot]=(data){x,y};
	if(s[1]==‘=‘) {
	    int u=find(x),v=find(y);
	    if(u!=v) fa[u]=v;
	}
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++){
	if(find(e[i].x)!=find(e[i].y)) lnk(find(e[i].x),find(e[i].y));
	else {puts("0");return 0;}
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if(find(i)==i) q[++tt]=i;
    for(int i=1;i<=tt;i++) if(du[q[i]]==0) lnk(0,q[i]);
    for(int i=0;i<=n;++i) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=i;++j){
	    c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%Mod;
	}
    dfs(0,0);
    ll ans=0;for(int i=1;i<=size[0];i++) (ans+=dp[0][i])%=Mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}










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