[HNOI2015]实验比较

Posted 2020-10-19 Z-Y-Y-S

Description

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片， 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y（x、y为图片编号）之间的比较：如果上下文中 x 和 y 是图片编号，则 x<y 表示图片 x“质量优于”y，x>y 表示图片 x“质量差于”y，x=y表示图片 x和 y“质量相同”；也就是说，这种上下文中，“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：（1）x < y等价于 y > x。（2）若 x < y 且y = z，则x < z。（3）若x < y且 x = z，则 z < y。（4）x=y等价于 y=x。（5）若x=y且 y=z，则x=z。 实验中，小 D 需要对一些图片对(x, y)，给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后， 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,…,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如： 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1，3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突） ，但与主观判断“2 = 1，3 < 2”  不冲突；因此给定主观判断“3>1，3=2”时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0 <= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi   < Xi  ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定：如果质量序列中出现“x = y”，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多， 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；

接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。 

Output

 输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

 不同的合法序列共5个，如下所示： 

1 = 5 < 2 < 3 < 4 

1 = 5 < 2 < 4 < 3 

1 = 5 < 2 < 3 = 4 

1 = 5 < 3 < 2 < 4 

1 = 5 < 2 = 3 < 4 

100%的数据满足N<=100。 

 

将u<v转化为u->v的边，u=v则并查集合为一点
假设只存在‘<’号，那么显然u点子树的方案：
枚举儿子节点 $v$ 的时候，我们用 $tol$ 表示已处理过的子树的总大小
$$f_u = f_u*f_v*C_{tol+f_v}^{f_v}$$
如果存在‘=’的话，显然=只会是不同子树的关系
由于子树间的等号关系不好处理，我们可以将其放到状态中，
我们记 $f_{u, k}$ 为在以 $u$ 为根的子树中生成的序列含有 $k$ 个 ‘<‘ 的方案数。
如果从当前已处理的子树选i个‘<‘，从v子树选j个’<‘
那么u子树的‘<‘个数范围为[max(i,j),i+j]
那么u子树’<‘的分布有多少种？
现在相当于将 $i$ 个白球， $j$ 个黑球放入 $k$ 个盒子中，且同个盒子不能有相同颜色的球，盒子不能空。
$$f_{u, k} += \sum_{i = 1}^a \sum_{j = 1}^b p_i*q_j*C_k^i*C_i^{j-(k-i)}$$
其中 $C_k^i$ 表示在 $k$ 个盒子中选出 $i$ 个放白球，因为所有盒子都要放球，所以剩下的 $k-i$ 个盒子必定放黑球，
剩下 $j-(k-i)$ 个黑球要放在 $i$ 个放白球的盒子中。
$$f_{u, k} += \sum_{i = 1}^a \sum_{j = 1}^b p_i*q_j*C_k^i*C_i^{j-(k-i)}$$
其中 $C_k^i$ 表示在 $k$ 个盒子中选出 $i$ 个放白球，因为所有盒子都要放球，所以剩下的 $k-i$ 个盒子必定放黑球，
剩下 $j-(k-i)$ 个黑球要放在 $i$ 个放白球的盒子中。

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cmath>
  6 using namespace std;
  7 typedef long long lol;
  8 struct Node
  9 {
 10   int next,to;
 11 }edge[2001];
 12 int head[1001],num,set[1001],n,m,pre[1001],rt[1001];
 13 bool vis[1001];
 14 lol Mod=1e9+7,c[1001][1001],f[1001][1001],size[1001],ans;
 15 void add(int u,int v)
 16 {
 17   num++;
 18   edge[num].next=head[u];
 19   head[u]=num;
 20   edge[num].to=v;
 21 }
 22 int find(int x)
 23 {
 24   if (x==0) return 0;
 25   if (set[x]!=x) set[x]=find(set[x]);
 26   return set[x];
 27 }
 28 lol C(int x,int y)
 29 {
 30   return c[y][x];
 31 }
 32 bool pd(int x)
 33 {int i;
 34   vis[x]=1;
 35   for (i=head[x];i;i=edge[i].next)
 36     {int v=edge[i].to;
 37       if (vis[v]) return 0;
 38       if (pd(v)==0) return 0;
 39     }
 40   return 1;
 41 }
 42 void dfs(int x)
 43 {int i,j,k,l;
 44   int zyys=0;
 45   lol g[1001];
 46   for (i=head[x];i;i=edge[i].next)
 47     {
 48       int v=edge[i].to;
 49       memset(g,0,sizeof(g));
 50       dfs(v);
 51       if (zyys)
 52     {
 53       for (j=1;j<=size[x];j++)
 54         {
 55           for (k=1;k<=size[v];k++)
 56         {
 57           for (l=max(j,k);l<=j+k;l++)
 58             {
 59               g[l]+=(((f[x][j]*f[v][k])%Mod)*C(j,l)%Mod)*C(k-l+j,j)%Mod;
 60               g[l]%=Mod;
 61             }
 62         }
 63         }
 64       size[x]+=size[v];
 65       for (j=1;j<=size[x];j++)
 66         f[x][j]=g[j];
 67     }
 68       else
 69     {
 70       zyys=1;size[x]+=size[v];
 71       for (j=1;j<=size[x];j++)
 72         f[x][j]=f[v][j];
 73     }
 74     }
 75   if (!zyys) f[x][0]=1;
 76   size[x]++;
 77   for (i=size[x];i;i--)
 78     f[x][i]=f[x][i-1];
 79 }
 80 int main()
 81 {int i,j,x,y;
 82   char ch;
 83   cin>>n>>m;
 84   for (i=0;i<=n;i++)
 85     {
 86       c[i][0]=1;
 87       for (j=1;j<=i;j++)
 88     c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%Mod;
 89     }
 90   for (i=1;i<=n;i++)
 91     set[i]=i;
 92   for (i=1;i<=m;i++)
 93     {
 94       scanf("%d %c %d",&x,&ch,&y);
 95       if (ch==‘<‘)
 96     {
 97       pre[y]=x;
 98     }
 99       else if (ch==‘=‘)
100     {
101       int p=find(x),q=find(y);
102       if (p!=q)
103         {
104           set[p]=q;rt[p]=1;
105           pre[q]=max(pre[q],pre[p]);
106         }
107     }
108     }
109   for (i=1;i<=n;i++)
110     if (rt[i]==0) add(find(pre[i]),i);
111   for (i=0;i<=n;i++)
112     if (vis[i]==0)
113       if (pd(i)==0)
114     {
115       cout<<0<<endl;
116       return 0;
117     }
118   dfs(0);
119   for (i=1;i<=size[0];i++)
120     ans=(ans+f[0][i])%Mod;
121   cout<<ans;
122 }