HDU 3507 单调队列 斜率优化

Posted 2020-10-05 ( m Lweleth)

斜率优化的模板题

给出n个数以及M，你可以将这些数划分成几个区间，每个区间的值是里面数的和的平方+M，问所有区间值总和最小是多少。

如果不考虑平方，那么我们显然可以使用队列维护单调性，优化DP的线性方法来做，但是该题要求的是区间和的平方，于是要转换单调的计算方法为斜率，也就是凸线。

其他就是最基本的单调DP

/** @Date    : 2017-09-04 15:39:05
  * @FileName: HDU 3507 单调队列 斜率优化 DP.cpp
  * @Platform: Windows
  * @Author  : Lweleth ([email protected])
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version : $Id$
  */
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int ,int>
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+20;
const double eps = 1e-8;

int n, m;
int a[5*N];
LL dp[5*N];
LL sum[5*N];

LL XX(int a, int b)
{
	return dp[b] + sum[b] * sum[b] - (dp[a] + sum[a] * sum[a]); 
}

LL YY(int a, int b)
{
	return 2 * (sum[b] - sum[a]);
}
int main()
{
	while(~scanf("%d%d", &n, &m))
	{
		MMF(sum);
		MMF(dp);
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			scanf("%d", a + i);
			sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
		}

		deque<int>q;
		q.push_back(0);
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			auto pos = q.begin();
			while(q.size() > 1 && XX(*pos, *(pos + 1)) <= sum[i] * YY(*pos, *(pos + 1)))
				q.pop_front(), pos = q.begin();
			if(!q.empty())
				dp[i] = dp[q.front()] + (sum[i] - sum[q.front()])*(sum[i] - sum[q.front()]) + m;
			//cout << dp[i] << endl;
			pos = q.end();
			while(q.size() > 1 && XX(*(pos - 2), *(pos - 1)) * YY(*(pos - 1), i) >= XX(*(pos - 1), i) * YY(*(pos - 2), *(pos - 1)))
			{
				q.pop_back();
				pos = q.end();
			}
			q.push_back(i);
		}
		printf("%lld\n", dp[n]);
	}
    return 0;
}