斜率优化第一题！ HDU3507 | 单调队列优化DP

Posted 2020-10-22 MSPqwq

放一手原题

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题解：

第一次写（抄）斜率优化，心里还是有点小激动的。讲一下怎么实现的！

首先我们可以考虑一个朴素的dp：DP[i]表示前i个数字的最少花费，显然我们有一个转移方程

DP[i]=min{DP[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2}

但是N^2肯定会超时，我们考虑优化他

假设有k<j<i，如果令j对i的贡献比k好

显然我们有这样的式子

DP[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2 < DP[k]+M+(sum[i]-sum[j])^2

把平方打开之后移项

可以得到

 (（DP[j]+sum[j]^2）- (DP[k]+sum[k]^2) )  / 2*(sum[j]-sum[k]) < sum[i]

可以把这个式子看成（yj - yk）/（xj - xk） 这样就得到了一个类似斜率的式子！

有了这些结论有什么用呢？

令G[i,j]表示刚刚的斜率式，依然有k<j<i

当j的决策比k优秀的时候，则满足G[i,j]>G[j,k]

我们可以用单调队列维护解集，利用斜率判断元素的入队和出队，这样可以使时间复杂度降低到O(n)了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 500005
using namespace std;
int dp[N],q[N],sum[N],l,r,n,m;
int GetDp(int i,int j)
{
    return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}
int GetUp(int j,int k)
{
    return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}
int GetDown(int j,int k)
{
    return 2*(sum[j]-sum[k]);
}
int main()
{
    while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for (int i=1,x;i<=n;i++)
            scanf("%d",&x),sum[i]=sum[i-1]+x;
        l=r=0;
        q[r++]=0;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            while (l+1<r && GetUp(q[l+1],q[l])<=sum[i]*GetDown(q[l+1],q[l]))
                l++;
            dp[i]=GetDp(i,q[l]);
            while (l+1<r && GetUp(i,q[r-1])*GetDown(q[r-1],q[r-2])<=GetUp(q[r-1],q[r-2])*GetDown(i,q[r-1]))
                r--;
            q[r++]=i;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}